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1、第一节 离散型随机变量及其分布律,随机变量的定义离散型随机变量及其分布律常用的离散型随机变量(几种常见分布)小结,一、随机变量的定义,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1.随机变量概念的产生,1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,四月份哈尔滨的最高温度；,每天进入一号楼的人数；,昆虫的产卵数；,2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,这种对应关系在数学上
2、理解为定义了一种实值单值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！,随机变量,（定义1）,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在 试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先 肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是 这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也 有一定的概率.,称这种定义在样本空间 U 上的实值单值函数 X=X(e)为,随,量,机,变,简记为 r.v.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或 等表示,1）有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数
3、用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫,X 1,X=0,2.引入随机变量的意义,解：分析,例 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不 出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱,故报童赔钱 X 666,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重 大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律 的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对 随机变量及其取值规律的研究.,事件及事件概率,随机变量及其取值规律,2）借助微积分可全面研究随
4、机现象的数量 规律及其联系,我们将研究两类随机变量：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,例如，“电视机的寿命”，实际中常 遇到的“测量误差”等.,3.随机变量的分类,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不 同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,二、离散型随机变量及其分布律,1.离散型随机变量及其分布律的定义,定义2：某些随机变量 X 的所有可能取值是有限 多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型 随机变量.,其中(k=1,2,)满足：,（2）,定义3：设 xk(k=1,2,
5、)是离散型随机变量 X 所 取的一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,用这两条性质判断是否是分布律,解:依据分布律的性质,a0,从中解得,即,例,设随机变量 X 的分布律为：,k=0,1,2,试确定常数a.,（1）公式法,（2）列表法,2.离散型随机变量表示方法,（3）矩阵法,设袋中有4个红球，1 个白球.今从袋中随机抽取两次，每次取一个.设 X 表示所取得的白球数，试分两种情况:(1)放回抽取；(2)不放回抽取，分别求出 X 的分布律.,三、常用的离散型随机变量(几种常见分布),1.（0-1）分布：（也称两点分布）,设随机变量 X 只可能取0与1两个值,其分布律为,则称 X 服从
6、参数为 p 的(0-1)分布或两点分布.,实例“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从(0-1)分布,其分布律为,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种 可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、种籽是否发芽、明天是否下雨等,都属于两点分布.,说明,设在一次试验E 中我们只考虑两个结果：A 或.,掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,这样的试验E 称为伯努利试验.,2.伯努利试验和二项分布,“重复”是指这 n 次试验中P(A)=p 保持不变.,将伯努利试验E 独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.,“独立”是指
7、各次试验的结果互不影响.,n 重伯努利试验特点：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数的分布律.,（2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或，,（3）各次试验相互独立.,可以简单地说，,且 P(A)=p，；,用 X 表示 n 重伯努利试验中事件A发生的次数，则,易证：,（1）,称随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，,XB(n,p),（2）,记作,例 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次 独立投篮投中次数 X 的概率分布.,解：X 可取值为0,1,2;,PX=0=(0.1)(0.1)=0.01,PX=1=2(0.9)(0.1)=0.
8、18,PX=2=(0.9)(0.9)=0.81,常常表示为：,这就是 X 的分布律.,设某车间有10台同型车床.如果每台车床的工作情况是相互独立的，且每台车床平均每小时开动12分钟.令X 表示该车间任一时刻处在工作状态的车床数，试求 X 的分布律.,例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.,解:因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为：,则,X B(3,0.05)，,若将本例中的“有放回”改为”无放
9、回”,那么各次 试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.,请注意：,其中,例 有 N 件产品其中有 M 件次品，即次品率为现从中抽取次，每次抽1件，抽后不放回令表示抽出的件中的次品数，则 其分布律为：,3.超几何分布,例3设从某厂生产的1000件产品中，随机抽查20件若该厂产品的次品率为0.2令表示抽查的20件中的次品数试求的分布律,上式计算复杂，一般若，不放回抽样可近似按放回抽样来处理，超几何分布就可用二项分布来近似，即有：,从而例3可近似地认为：,于是,计算简便，误差较小,在二项分布B(n,p)中，如果,是常数），则成立：,泊松定理,4.泊松分布,注,二项分布
10、近似于 泊松分布,设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且分布律为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作,解：以 X 表示20000人中发生过敏反应的人数，则 X 服从二项分布 B(20000,0.0001)，所求的概率为：,某种药品的过敏反应率为0.0001，今有20000人 使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数 不超过 3 的概率。,例,如果利用近似公式,计算，可以得到：，且,比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。,假定有若干台同型号车床，彼此独立工作每台车床发生故障的概率都是0.01，设1台车床的故障由1人维修试就下述两种情况求出当车床发生故障时，需要
11、等待维修的概率：,解：,设表示任一时刻发生故障的车床数,（1）若由1人负责维修20台车床；（2）若由3人负责维修80台车床,例4,可以得：,故可近似认为：,所以所求概率为：,（1）由题意得,（2）由题意得,故可近似认为：,所以所求概率为：,启示提倡团队精神、合作精神 管理的规模效应（俱乐部管理模式）,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见
12、的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,补充：几何分布,在独立重复试验中，事件 A 发生的概率为 p，X 为直到 A 发生为止所进行的试验次数，,称 X 服从几何分布.,例 设某批产品的次品率为 p，对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量,求 X 的分布律.,则
13、 X 的分布律为,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.,解,例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是 p，求所需射击发数X 的分布律.,解:显然，X 可能取的值是1,2,，,PX=1=P(A1)=p,为计算 PX=k，k=1,2,，,Ak=第k发命中，k=1,2,，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数 X 的分布律.,课本 P66，9,例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿 信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为 红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.,解:依题意,X可取值0,1,2,3.,PX=0=P(A1)=1/2,课本 P65，7（类似）,P(Ai)=1/2,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,即,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,随机变量,离散型随机变量,分布律,几类常用的离散型随机变量,0-1分布,二项分布,泊松分布,小 结,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,泊松分布,两点分布,超几何分布,想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命 X 是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意X 5年还是X 5年零1分钟,
