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1、2023/5/25,1,第九节 随机变量函数的分布,一、一维随机变量函数的分布,求Y=X2-1的分布律,例1 设随机变量X的分布律如下，,解：Y的所有可能取值为0,3,8,2023/5/25,2,例2.一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X的概率密度为,解：分别记X，Y的分布函数为,一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。,2023/5/25,3,例3.设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布，,解:当X在区间-1,2上取值时,Y在0,1或1,4取值,求随机变量Y=X2的概率密度。,由于y=x2不是单调的，,解:(1)
2、因为X在(0,1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)上取值。,2023/5/25,4,例3.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，(1)求随机变量Y=eX的概率密度;,上式对y求导数，得Y的概率密度为,例3.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，(2)求Y=-2lnX的概率密度。,解:(1)因为X在(0,1)上取值，所以Y=-2lnX 在(0，+)上取值。,2023/5/25,5,上式对y求导数，得Y的概率密度为,2023/5/25,6,在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量 X,Y，它们相互独立同分布。我们想知道系统
3、寿命 Z 的分布。,这就是求随机变量函数的分布问题。,二、多维随机变量函数的分布,2023/5/25,7,解题步骤：,1.一般情形问题,已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f(x,y),g(x,y)是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g(X,Y)的概率密度。,2023/5/25,8,2）连续型随机变量和的分布,2023/5/25,9,2023/5/25,10,由于 X,Y 的对称性可得,2023/5/25,11,2023/5/25,12,解:利用卷积公式,求Z=X+Y的概率密度。,例5.设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是,2023/5/25,13,3.极值分布,解：,2023/5/25,14,解：,2023/5/25,15,2023/5/25,16,解:（1）串联的情况,例6.设系统L由两个独立的电子元件L1,L2连接而成，连接方式分别为(1)串联；（2）并联,设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知X,Y的概率密度分别是,其中10 20，求上述两种连接方式中系统的寿命Z的概率密度。,，,由题设X、Y的分布函数分别为,2023/5/25,17,，,所以Z=min(X,Y)的概率密度为,2023/5/25,18,解:（2）并联的情况,所以Z=max(X,Y)的概率密度为,2023/5/25,19,习题二(P73)：24,26(1),27,29,32,作业,
