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1、在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此 在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函 数(组)的微分法.,3 几 何 应 用,一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线,一、平面曲线的切线与法线,曲线 L：,条件：上一点,近旁,F 满足,隐函数定理条件,可确定可微的隐函数:,处的切线：,总之,当,例1 求笛卡儿叶形线,在点 处的切线与法线.,解 设 由1 例 2 的讨,论 近旁满足隐函数定理,的条件.容易算出,于是所求的切线与法线分别为,例2 用数学软件画出曲线,切线与法线.,解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:,
2、syms x,y;ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1);,就立即得到曲线 L 的图象(见本例末页).,令 容易求出:,由此得到 L 在点 处的切线与法线分别为：,若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指,令,便可画出上述切线与法线的图象(如图).,hold on;a=(pi)(1/3);b=a2;ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b);ezplot(1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b),例3 设一般二次曲线为,试证 L 在点 处的切线方程为,证,由此得到所求切线为,利用 满足曲线 L 的方程,即,整理后便得到,二、空间曲线的
3、切线与法平面,先从参数方程表示的曲线开始讨论.,在第五章3 已学过,对于平面曲线,若 是其上一点,则曲线,在点 处的切线为,下面讨论空间曲线.,(A)用参数方程表示的空间曲线:,类似于平面曲线的情形,不难求得 处的切线为,过点 且垂直于切线 的平面,称为曲线 L,在点 处的法平面.,因为切线 的方向向量即为,法平面 的法向量,所以法,平面的方程为,(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：,设 近旁具有连续的,一阶偏导数,且,不妨设 于是存在隐函数组,这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程.,根据公式(2),所求切线方程为,应用隐函数组求导公式,有,于是最后求得切线方程为,相应于(3)式的
4、法平面方程则为,例 4 求空间曲线,在点 处的切线和法平面.,解 容易求得 故切向向量为,由此得到切线方程和法平面方程分别为,syms t;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi),绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:,例5 求曲线,在点 处的切线与法平面.,解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线.令,根据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算,F,G 在点 处的雅可比矩阵:,由此得到所需的雅可比行列式:,故切向向量为,据此求得,三、曲面的切平面与法线,以前知道,当 f 为可微函数时,曲面 z=f(x,y
5、),在点 处的切平面为,现在的新问题是:曲面 由方程,给出.若点 近旁,具有连续的一阶偏导数,而且,不妨设 则由方程(7)在点 近旁惟一,地确定了连续可微的隐函数,因为,所以 在 处的切平面为,又因(8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程,一般应写成,随之又得到所求的法线方程为,回顾 1 现在知道,函数 在点 P 的梯度,其实就是等值面 在点 P 的法向量:,回顾 2 若把用方程组(4)表示的空间曲线 L 看作,曲面 的交线,则 L 在,点 的切线与此二曲,面在 的法线都相垂,直.而这两条法线的,方向向量分别是,故曲线(4)的切向向量可取 的向量积:,这比前面导出(5),(6)两式的过程更为
6、直观,也容,易记得住.,例6 求旋转抛物面 在点,解 令 则曲面的法向量为,处的切平面和法线.,从而由(9),(10)分别得到切平面为,法线为,面都过某个定点(这里 f 是连续可微函数).,于是曲面在其上任一点 处的法向量,可取为,由此得到切平面方程:,将点 代入上式,得一恒等式:,这说明点 恒在任一切平面上.,四、用参数方程表示的曲面,曲面也可以用如下双参数方程来表示:,这种曲面可看作由一族曲线所构成:每给定 v 的一,个值,(11)就表示一条以 u 为参数的曲线;当 v 取,某个区间上的一切值时,这许多曲线的集合构成了,一个曲面.现在要来求出这种曲面的切平面和法线,的方程.,(11)式中三
7、个函数在 近旁都存在连续的一阶偏,导数.因为 在 处的法线必垂直于 上过 的,任意两条曲线在 的切线,所以只需在 上取两条特,殊的曲线(见图):,它们的切向量分别为,则所求的法向量为,至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为,解 先计算在点 处的法向,例8 设曲面的参数方程为,试对此曲面的切平面作出讨论.,量:,由此看到,当 时 说明在曲面(12),而当 时,法向量可取,上存在着一条曲线,其方程为,在此曲线上各点处,曲面不存在切平面,我们称这,种曲线为该曲面上的一条奇线.,与之对应的切平面则为,法线则为,当动点 趋于奇线(13)上,的点 时,法向量,存在极限:,此点处 不存在法,此时切平面存在极限位置:,有时需要用此“极限切平面”来补充定义奇线上的,切平面.,注 曲面上的孤立奇点往往是曲面的尖点,如圆锥,线和切平面.而曲面上的奇线,则往往是该曲面的,“摺线”、“边界线”或是曲面自身的“交叉线”.,曲面(12)及其奇线(边界线)的图象如下:,定义 若 存在连续的一阶偏导数,且满足,则称曲面 为,一光滑曲面.,对于用双参数方程(11)表示的曲面,应如何定义,它为光滑曲面?请读者自行考虑.,复习思考题,
