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1、第十章,习题课,1,2,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,3,1、二重积分的定义,4,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,5,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,6,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,7,性质,性质,（二重积分中值定理）,8,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,9,Y型区域的特点：穿过区域且平
2、行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,10,（）极坐标系下,11,12,5、二重积分的应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积,13,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3)重心,14,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4)转动惯量,15,(5)引力,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,16,6、三重积分的定义,17,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,18,9、三重积分的计算,()直角坐标,(2)截面法,19,(2)柱面坐标,20,(4)球面坐标,21,10、三重积分的应用,()重心,21,设物体占有空间
3、区域,有连续密度函数,则其重心坐标为:,当,常数 时,则得形心坐标：,物体的体积,()转动惯量,22,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,质点系对坐标 轴 的转动惯量:,23,二、典型例题,例1,解,X-型,24,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,25,26,解：用极坐标计算，（如图）,27,例5,解,28,例6,解,29,例7,其中是由 xoy 平面,上曲线,所围成的闭区域。,提示：利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,计算三重积分,30,运用对称性时，必须兼顾被积函数与积分区域两个方面。两个方面的对称性要相匹配，才能利用,1若 关于 轴对称，对，则有,(1)当 时，,(2
4、)当 时，,2若 关于 轴对称，对，则有(1)当 时，,(2)当 时，,31,解：积分域是圆域，关于x,y轴 对称,32,例2.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,在,在,上,上,33,例3.计算二重积分,其中,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性,围成.,34,(2)积分域如图,将D 分为,添加辅助线,例3.计算二重积分,(2)D由直线 围成.,其中,利用对称性,有,35,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,36,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,37,解,38,39,40,例6,解,利用球面坐标,41,例7,证,42,例8.设,在,上连续,证明,证:左端,=右端,43,求均匀球体（体密度为1）绕 轴的转动惯量。,方法1：,方法2：（先二后一）,44,例10.设,存在,求,其中:,解:在球坐标系下,利用洛必达法则,得,45,用四种方法计算，,其中 为 在第一卦限的部分,解：方法1：(用直角坐标计算）,46,方法2：（用柱坐标计算）,方法3：（用球坐标计算）,47,方法4：（用“先二后一”计算）,48,测 验 题,49,50,51,52,53,54,55,56,测验题答案,57,
