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1、第十章 定积分的应用,1 平面图形的面积,2 由平行截面面积求体积,3 平面曲线的弧长,4 旋转曲面的面积,首页,1 平面图形的面积,一、直角坐标方程情形,二、参数方程情形,三、极坐标方程情形,首页,我们知道,有些曲线用直角坐标方程表示,比较方便,而另外一些曲线以参数方程或极坐,标方程给出更简单一些.因此我们在三种情形,下分别讨论.,首页,一、直角坐标方程情形,由连续曲线 y=f(x)(0)，以及直线 x=a，,x=b(ab）和 x 轴所围曲边梯形的面积为,首页,由连续曲线 y=f(x)(0)，以及直线 x=a，,x=b 与 x 轴所围曲边梯形的面积为,形的面积为,A=.,由此，易知下述结论成
2、立：,(i)由上、下两条连续曲线,首页,如果 f(x)在a，b上不都是非负的，则所围图,与 以及两条直线x=a与y=b（ab）,所围的平面图形的面积计算公式为,A=(1),注 当两条直线其中之一或两条缩为点时,仍可用公式(1).,例1 求由抛物线 与直线x2y3=0所围平面,图形的面积A.,解 先求出抛物线与直线的,交点P(1,1)与Q(9,3).,用x=1把图形分为左、,首页,所以A=A1+A2=.,分别求得它们的面积为,右两部分,应用公式(1),(ii)设平面图形由左、右两条连续曲线g1(y),g2(y),及上、下两条平行直线，(d)所围成,其面积计算公式为,A=.,上面例1中也可把抛物线
3、方程和直线方程改写成,x=y2=g1(y),x=2y+3=g2(y)，y1，3.,并改取积分变量为y，便得,A=,首页,注 一般平面图形都可以归结为以上（i）（ii）两种基本,图形，有些图形可能是以上两种基本图形的组合.,二、参数方程情形,设曲线C由参数方程,x=x（t），y=y（t），t,.(2),给出，在,上，y（t）连续，x（t）连续可微且,（对于y（t）连续可微且 的情形,可类似地讨论）.记 a=x()，b=x()(ab或ba)，则,由曲线C及直线x=a，x=b和x轴所围的图形，其面积,计算公式为,A=(3),首页,解 摆线的一拱可取t0,2.所求面积为,A=,=,如果由参数方程（2）
4、所表示的曲线是封闭的，即有,x（）=x(),y()=y().,且在(,)内曲线自身不再相交，那么由曲线自身所,围图形的面积为,A=(或).(4),此公式可由公式(1)和(3)推出，绝对值内的积分，,其正、负由曲线(2)的旋转方向所确定.,例2求由摆线x=a(tsint),y=a(1cost)(a0)的一,拱与x轴所围平面图形面积.,首页,例3 求椭圆 所围的面积.,解 化椭圆为参数方程,x=acos t，y=bsin t，t0，2.,由公式(4)，求得椭圆所围面积为,A=,=ab,显然，当a=b=r时，这就等于圆面积,首页,三、极坐标方程情形,设曲线C有极坐标方程,由曲线C与两条射线 所围成的平面图形，,通常也称为扇形.,首页,此扇形的面积计算公式为,A=.(5),这仍可由定积分的基本思想而得，即通过“分割、,小扇形.,(i)对区间,作任意分割T：,射线=i（i=1，2，n1）把扇形分成n个,首页,近似求和、取极限”三个步骤来得到.,这时，第i个小扇形的面积,于是,(iii)由定积分的定义和连续函数的可积性，当,(ii)由于r()是连续的，因此当 很小时，在,每一个 上r()的值变化也很小.任取,便有 i=1，2，n.,0时，上式右边的极限即为公式（5）中,的定积分.,首页,
