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1、2023/5/26,1,数学建模与数学实验,回归分析,实验目的,实验内容,1、回归分析的基本理论。,3、实验作业。,2、用数学软件求解回归分析问题。,2023/5/26,3,一元线性回归,多元线性回归,回归分析,数学模型及定义,*模型参数估计,*检验、预测与控制,可线性化的一元非线性回归（曲线回归）,数学模型及定义,*模型参数估计,*多元线性回归中的检验与预测,逐步回归分析,2023/5/26,4,一、数学模型,例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：,以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.,散点图,解答,2023/5/26,5,一元线性回
2、归分析的主要任务是：,返回,2023/5/26,6,二、模型参数估计,1、回归系数的最小二乘估计,2023/5/26,7,2023/5/26,8,返回,2023/5/26,9,三、检验、预测与控制,1、回归方程的显著性检验,2023/5/26,10,（）F检验法,（）t检验法,2023/5/26,11,（）r检验法,2023/5/26,12,2、回归系数的置信区间,2023/5/26,13,3、预测与控制,（1）预测,2023/5/26,14,（2）控制,返回,2023/5/26,15,四、可线性化的一元非线性回归（曲线回归）,例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断
3、增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：,解答,2023/5/26,16,散点图,此即非线性回归或曲线回归,问题（需要配曲线）,配曲线的一般方法是：,2023/5/26,17,通常选择的六类曲线如下：,返回,2023/5/26,18,一、数学模型及定义,返回,2023/5/26,19,二、模型参数估计,2023/5/26,20,返回,2023/5/26,21,三、多元线性回归中的检验与预测,（）F检验法,（）r检验法,(残差平方和）,2023/5/26,22,2、预测,（1）点预测,（2）区间预测,返回,2023/5/26,23,四、逐步回归分析
4、,（4）“有进有出”的逐步回归分析。,（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；,（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；,（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；,选择“最优”的回归方程有以下几种方法：,“最优”的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量,而不包含对Y影响不显著的变量回归方程。,以第四种方法，即逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.,2023/5/26,24,这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。,逐步回归分析法的思想：,从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程。,当
5、引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。,引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。,对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。,返回,2023/5/26,25,统计工具箱中的回归分析命令,1、多元线性回归,2、多项式回归,3、非线性回归,4、逐步回归,返回,2023/5/26,26,多元线性回归,b=regress(Y,X),1、确定回归系数的点估计值：,2023/5/26,27,3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）,2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b,bint,
6、r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),2023/5/26,28,例1,解：,1、输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1)x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;,2、回归分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,stats,To MATLAB(liti11),题目,2023/5/26,29,3、残差分析，作残差图：rcoplot(
7、r,rint),从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点.,4、预测及作图：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r),返回,To MATLAB(liti12),2023/5/26,30,多 项 式 回 归,（一）一元多项式回归,y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1,2023/5/26,31,法一,直接作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 4
8、1.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;p,S=polyfit(t,s,2),To MATLAB（liti21）,得回归模型为：,2023/5/26,32,法二,化为多元线性回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1)t(t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,stats,To MATL
9、AB(liti22),得回归模型为：,Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r),预测及作图,To MATLAB(liti23),2023/5/26,33,（二）多元二项式回归,命令：rstool（x，y，model,alpha）,2023/5/26,34,例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.,法一,直接用多元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100
10、 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2;rstool(x,y,purequadratic),2023/5/26,35,在画面左下方的下拉式菜单中选”all”,则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.,在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6。,则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.,2023/5/26,36,在Matlab工作区中输入命令：beta,rmse,To MATLAB(liti31),2023/5/
11、26,37,结果为:b=110.5313 0.1464-26.5709-0.0001 1.8475 stats=0.9702 40.6656 0.0005,法二,To MATLAB(liti32),返回,2023/5/26,38,非线性回 归,（1）确定回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x，y，model,beta0）,（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model,beta0，alpha）,1、回归：,2023/5/26,39,例 4 对第一节例2，求解如下：,2、输入数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99
12、10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;,3、求回归系数：beta,r,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)；beta,得结果：beta=11.6036-1.0641,即得回归模型为：,To MATLAB(liti41),题目,2023/5/26,40,4、预测及作图：YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r),To MATLAB(liti42),2023/5/26,41,例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、
13、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。,解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为y，设变量之间的关系为：y=ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非线性回归方法求解。,2023/5/26,42,1 对回归模型建立M文件model.m如下:function yy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(
14、:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;,2023/5/26,43,2.主程序liti6.m如下:,X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00.2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00.271.00 230.00 266.00 323.00 393
15、.00 466.00 352.00 303.00 447.00.564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00.890.00 826.00 810.0;beta0=0.50-0.03-0.60 0.01-0.02 0.35;betafit=nlinfit(X,y,model,beta0),To MATLAB(liti6）,2023/5/26,44,betafit=0.5243-0.0294-0.6304 0.0112-0.0230 0.3658即y=0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x
16、4-0.0230 x5+0.3658x6,结果为:,返 回,2023/5/26,45,逐 步 回 归,逐步回归的命令是：stepwise（x，y，inmodel，alpha）,运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.,在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.,Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.,2023/5/26,46,例6 水泥凝固
17、时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、x4 有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模 型.,1、数据输入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2
18、 x3 x4;,2023/5/26,47,2、逐步回归：（1）先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table,图Stepwise Plot中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好,从表Stepwise Table中看出变量x3和x4的显著性最差.,2023/5/26,48,（2）在图Stepwise Plot中点击直线3和直线4，移去变量x3和x4,移去变量x3和x4后模型具有显著性.,虽然剩余标准差（RMSE）没有太大的变化，但是统计量F的值明显增大，因此新的回归模型更好.,To MATLAB(liti51）,2023/5/26,49,（3）对变量y和x1、x2作线性回归：X=ones(13,1)x1 x2;b=regress(y,X),得结果：b=52.5773 1.4683 0.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2,To MATLAB(liti52）,返回,2023/5/26,50,作 业,2023/5/26,51,2023/5/26,52,4、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：,谢谢大家,
