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1、-利用向量解决空间的距离问题,3.2立体几何中的向量方法(四),向量法求空间距离的求解方法,1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则,3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离,n,A,P,O,B,A,a,M,N,n,a,b,例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
2、以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解:如图1,不妨设,化为向量问题,依据向量的加法法则，,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,典例,思考：,(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）,思考(1)分析:,思考(2)分析:,
3、这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.,H,分析：面面距离转化为点面距离来求,解：,所求的距离是,思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?,如何用向量法求点到平面的距离?,(1)求B1到面A1BE的距离；,例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(2)求D1C到面A1BE的距离；,解:D1C面A1BE D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离,仿上法求得,例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1
4、的中点，求下列问题：,(3)求面A1DB与面D1CB1的距离；,解:面D1CB1面A1BD D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离,例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(4)求异面直线D1B与A1E的距离.,课堂练习:,练习1：如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。,F,E,B1,C1,D1,D,C,A,练习2：已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。,B,x,y,z,
5、A1,练习3：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,ACB=900,AA1=,求B1到平面A1BC的距离。,x,y,z,小结,利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。,作业,P112 A组 5 9,补充作业：已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,G,B,D,A,C,E,F,x,y,z,
