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1、第三章 多维随机变量及其分布,一.边缘分布 二.独立性 三.条件分布,1 二维随机变量的分布,(p52)n个随机变量X1,X2,Xn构成的n维随机向量(X1,X2,Xn),称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标。二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标。n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标。,几何意义：分布函数F(x0,y0)表示随机点(X,Y)落在区域(x,y)|-xx0,-yy0中的概率。如图阴影部分：,(p52)设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或称为X,Y的联合分布函数。,对于(x1,y1),
2、(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),则 Px1X x2，y1Yy2 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1).,(x1,y1),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),EX,G,已知随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率.,答:,且,(1)归一性 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,分布函数F(x,y)具有如下性质：(p53),(2)单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).,(3)右连续 对任意xR,yR,(4)矩形不等式
3、对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。,例1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0Y3,解:,二维离散型随机变量(p54),(P52)若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj),(i,j1,2,)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。,(P54)若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称PXxi,Yyjpij,(i,j
4、1,2,)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为X,Y的联合分布律.可记为：(X,Y)PXxi,Y yj pij，(i,j1,2,),X Y y1 y2 yj p11 p12.P1j.p21 p22.P2j.pi1 pi2.Pij.,.,.,.,.,.,.,.,.,联合分布律的性质(1)pij 0,i,j1,2,；(2),x1 x2xi,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,P54,例2 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次,令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,二维连续型随机变量(p55),对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，
5、使对(x,y)R2，其分布函数,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合概率密度，可记为(X,Y)f(x,y)，(x,y)R2,(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：,反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y),必是某个二维连续型随机变量的概率密度。,(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有,联合密度f(x,y)的性质(p55),(4)对于任意平面区域G R2,EX,设,求:PXY,G,1,1,x,y,求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D:x0,y0,2x+3y6的概率.
6、,例3 设,解：(1)由归一性,(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2x+3y6 内的概率。,解:,x,易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布,对D内任意区域G，有,两个常用的二维连续型分布(p59),若二维随机变量(X,Y)的密度函数为,则称(X,Y)在区域D上(内)服从二维均匀分布。,例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求PY2X；(3)求F(0.5,0.5),解:,二维正态分布(P59),求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,解:PX0=0,EX,FY(y)F(+,y)
7、PYy 称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.,FX(x)F(x,+)PXx,称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。,2 边缘分布,一、边缘分布函数(p56),解：,若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)PXxi,Y yj pij，i,j1,2,则称 PXxipi.，i1,2,为(X,Y)关于X的边缘分布律；,PY yjp.j，j1,2,为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。,二、边缘分布律(p57),解：XY10pi.11/103/1003/103/10 p.j,故关于X和Y的分布律
8、分别为：X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称,为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理，称,易知,若(X,Y)N(1,2,12,22,),则XN(1,12)，YN(2,22)，即二维正态分布的边缘分布也是正态分布。P(59),三、边缘密度函数(p58),解:(1)由归一性,例3 设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,x=y,x=-y,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度。,EX,3 随机变量的独立性,定义
9、：设F(x,y),FX(x),FY(y)分别是（X,Y)的联合分布函数，边缘分布函数。若对于任意x,y有 F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X与Y相互独立。P(61),定理(p61)设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理(p61)设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=PiPj。,EX：判断2中例1、例2、例3的X与Y是否相互独立。,例2 甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最
10、多等待15分钟,过时不候。求两人能见面的概率。,对n维随机变量(X1,X2,Xn)，(x1,x2,xn)Rn F(x1,x2,xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，或随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数。,n维随机变量的边缘分布与独立性(p62),定义 设n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数为 F(x1,x2,xn),(X1,X2,Xn)的 k（1kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边缘分布函数为 FX1,X2(x1,x2)=F(x1,x2,+,+,+)若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n,
11、则称X1,X2,Xn 相互独立。,定义.若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.,Xn)为n维离散型的，称PX1=x1,X2=x2,.,Xn=xn,(x1,x2,.,xn)Rn为n维随机变量(X1,X2,，Xn)的联合分布律。,定义.对于n维随机变量(X1,X2,Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,xn)使对任意的n元立方体,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,Xn)的概率密度。,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,in及实数 有,则称离散型随机变量X1,X2,Xn相互
12、独立。,设X1，X2，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1,x2,xn)Rn，f(x1,x2,xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)则称X1，X2，Xn相互独立。,定义 设n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,.xn)；m维随机变量(Y1,Y2,Ym)的分布函数为FY(y1,y2,ym),X1,X2,Xn,Y1,Y2,Ym 组成的n+m维随机变量（X1,X2,Xn,Y1,Y2,Ym)的分布函数为 F(x1,x2,xn,y1,y2,ym).如果F(x1,x2,xn,y1,y2,ym)=FX(x1,x2,xn)FY(y1,y2,ym)则称n维随机变量(X1
13、,X2,Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,Ym)独立。,定理 设(X1,X2,Xn)与(Y1,Y2,Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,n)与Yj(j=1,2,m)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1,X2,Xn)与g(Y1,Y2,Ym)相互独立.,设随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)PXxi,Y yj pij，(i,j1,2,)，则，X和Y的边缘分布律分别为,4 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律P(49),为Y yj的条件下，X的条件分布律;(P63),若对固定的j,p.j0,则称,同理，对固定的i,pi.0,称,为X xi的条件下，Y的条件分布律;(P63),例1 设某昆
14、虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.,可证当 时,二、连续型随机变量的条件概率密度P(65),给定y，设对任意固定的正数0，极限,存在，则称此极限为在Y=y条件下X的条件分布函数.记作,若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则当 时，,类似定义，当 时,解:(1),当|x|1时,(2),5 两个随机变量函数的分布,一、二维离散型随机变量函数的分布律P(67),0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,V,W,0 1,0 1 2,0,0,0,二、多个连续型随机变量函数的密度函数P
15、(69),1、一般的方法：分布函数法 若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y的分布函数:,然后再求出Y的密度函数:,已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。,y x+y=z x+y z,若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数,2、几个常用函数的密度函数(1)和的分布 P(69),例2.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从 N(0，2）分布。,p58,p58,一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则,例3.卡车装运水泥,设每袋水
16、泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解:设卡车装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则,由题意,令,查表得,(2)极大(小)值的分布,设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别 为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2,Xn,NminX1,X2,Xn 则，M和N的分布函数分别为：,FM(z)F1(z)Fn(z),特别，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.进一步地，若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(z)n1f(z).,例4(P73)设系统L由两个相互独立的子系统联结而成，联结的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为,其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度,小结,
