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1、第三章 数值积分与数值微分（二）,第五节 Romberg求积算法,第六节 Gauss求积公式,第七节 数值微分,一、梯形公式的递推公式及事后估计法,上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的 实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止,设将求积区间a，b分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值如果将求积区间再二分一次，
2、则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察,5 龙贝格求积公式,注意到每个子区间xk，xk+1经过二分只增加了一个分点xk+1/2(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为,二、龙贝格算法,根据复化梯形公式的余项表达式,可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.这种利用计算结果估计误差的方法称为事后估计法.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”：,改进梯形求积公式的右边实际是,这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式,类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结
3、果可得到复化柯特斯求积公式,重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式,我们在变步长的过程中运用加速公式(5.1)、(5.2)、(5.3)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.,龙贝格求积算法可用下表来表示：,例2 用龙贝格方法计算椭圆 x2/4+y2 l 的周长，使结果具有五位有效数字,分析 为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示，再根据弧长公式将椭圆周长用积分形式表示由于计算结果要求具有五位有效数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而确定所求积分值的绝对误差限最后再应
4、用龙贝格方法计算积分,解 令 x 2cosq，y sinq 则椭圆的周长为,三、理查森(Richardson)外推加速法,上面讨论说明由梯形公式出发，将区间a，b逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，即,若记Tn=T(h)，当区间a，b分为2n等分时，有，则,可见I=T(h)的误差为O(h2)阶.若记，则,可以证明，如果 f(x)充分光滑，那么T 数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 I，即,机械求积公式 含有2n+2个待定参数xk、Ak(k0，1，n)当 xk 为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为n次，如果适当选取 xk
5、(k0，1，n)，有可能使求积公式具有 2n+1 次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.为使问题更具一般性，我们研究带权积分，这里r(x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为 Ak(k0，1，n)为不依赖于f(x)的求积系数，xk(k0，1，n)为求积节点，可适当选取 xk 及 Ak(k0，1，n)使求积公式(6.1)具有2n+1次代数精度,6 高斯求积公式,一、高斯点,定义4 如果求积公式(6.1)具有2n+1次代数精度，则称其节点 xk(k0，1，n)为高斯点，相应公式(6.1)称为高斯求积公式.根据定义要使(6.1)具有2n+1次代数精度，只要取f(x)xm，对m
6、0，1，2n+1，(6.1)精确成立，则得 当给定权函数r(x)，求出右端积分，则可由(6.2)解得 Ak 及 xk(k0，1，n),求解非线性方程组(6.2)较复杂，通常n2就很难求解故一般不通过解方程(6.2)求 xk 及 Ak(k0，1，n)，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式,定理5 插值型求积公式(6.1)的节点 ax0 xlxnb是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过n的多项式P(x)带权r(x)正交，即,定理表明在a，b上带权r(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式(6.1)的高斯点，有了求积节点 xk(k0，l，n)，再利用(6.2)对m0
7、，l，n 成立，则得到一组关于求积系数A0，A1，An 的线性方程解此方程则得Ak(k0，1，n).也可直接由x0，x1，xn 的插值多项式求出求积系数Ak(k=0,1,n).,二、高斯求积公式的余项,利用 f(x)在节点xk(k=0，1，n)的埃尔米特插值 H2n+1(x)，即于是，两端乘r(x)，并由a到b积分，则得其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故 由于 0，故由积分中值定理得(6.1)的余项为,与积分相反，数值微分非常困难.积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质.因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感
8、.一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变.,由于微分这个固有的困难，所以应尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分.在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分.或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找该样条函数的微分.,7 数值微分,一、中点方法与误差分析,数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数 值按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式,其中h为一增量称为步长后一种数值微分方法称为中点方法、它是前两种方法的算术平均但它的误差阶却由O(h)提高到O(h2)上面所给出的三个公式是很实用的尤其是中点公
9、式更为常用,的近似值，首先须选取合适的步长为此需要进行误差分析,再考察舍入误差按中点公式计算，当h很小时，因 f(a+h)与 f(a-h)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第1章第4节)因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小,二、插值型的求导公式,对于列表函数 y=f(x)：,如果我们限定求某个节点 xk 上的导数值，那么上面的第二项因式变为零，这时有余项公式,下面我们仅仅考察节点处的导数值为简化讨论，假定所给的节点是等距的,1两点公式,于是有下列求导公式：,而利用余项公式(7.2)知，带余项的两点公式是：,2三点公式 设已给出三个节点x0，xl=x0+h，x2=x0+2h上的函
10、数值，做二次插值,令 x=x0+th，则,这里撇号()表示对变量x求导数上式分别取t=0，1，2，得到三种三点公式：,而带余项的三点求导公式如下：,公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式在三点公式中，它由于少用了一个函数值 f(x1)而引人注目 用插值多项式Pn(x)作为 f(x)的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：,而带余项的二阶三点公式如下：,例4,三、利用数值积分求导,微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分设 f(x)是一个充分光滑的函数，设,则有：,若对(7.6)右端积分用辛普森求积公式，则有,四、三次样条求导,三次样条函数 S(x)作为 f(x)的近似，不但函数值很接近，导数值也很接近，并有,(见第2章定理4)，因此利用三次样条函数S(x)直接得到,五、数值微分的外推算法,(6.8),(6.8),5,3-1,(6.8),3-1,
