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1、第2章 插 值 法,内容提要2.1 引言2.2 拉格朗日插值2.3 均差与牛顿插值公式2.4 埃尔米特插值2.5 分段低次插值2.6 三次样条插值,2.1 引言 许多实际问题都用函数 y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x)在某个区间 a,b 上存在、连续，但只能给出 a,b 上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x)的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x)近似 f(x)。这就引出
2、了插值问题。,1、提出问题（插值法的定义）,2、几何意义、外插、内插,P(x)f(x),x*(外插),x0,x1,x(内插),x2,x3,P(x*)f(x*),3、插值的种类 选取不同的函数族构造 P(x)得到不同类型的插值若 P(x)是次数不超过 n 的代数多项式，就称为多项式插值；若 P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若 P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式 P(x)的存在唯一性、收敛性及估计误差等。4、多项式插值问题,插值多项式的存在唯一性,定理1(存在唯一性)满足插值条件的不超过 n
3、次的插值多项式是存在唯一的。,2.2 拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值1、线性插值,2、抛物插值,求解基函数,二、拉格朗日插值多项式 上面针对 n=1 和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。,定理表明：(1)插值误差与节点和点 x 之间的距离有关,节点距离 x 越近,插值误差一般情况下越小。(2)若被插值函数 f(x)本身就是不超过 n 次的多项式,则有f(x)g(x)。,3、应用举例,用二次插值计算 ln(11.25)的近似值,并估计误差。,例2-2 给定函数值表,在区间10,12上
4、lnx 的三阶导数(2/x3)的上限 M3=0.002,可得误差估计式,注：实际上,ln(11.25)=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058,0,?,分析：求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。,2.3 均差与牛顿插值公式一、均差及其性质 问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。,1、均差定义,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,均差计算表,例如 由函数y=(x)的函数表写出均差表.,解 均差表如下,二、牛顿插值公式,解 由差商表知x0,
5、x1=-2,x0,x1,x2=3,x0,x1,x2,x3=-1,于是有,N1(x)=5-2(x+2)=1-2xN2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9,例2-6 对例如中的(x),求节点为 x0,x1 的一次插值，x0,x1,x2 的二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多项式.,例2-7 给出 f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计算f(0.596)的近似值。,2.4 埃尔米特插值 不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也
6、相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。,y=L10(x),y=L10(x),解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）,2.5 分段低次插值一、高次插值的病态性质 一般总认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当n-时，Ln(x)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格（Runge）就给了一个等距节点插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。,y=L10(x),x,1,y=L10(x),o,-1,0.5,y,1.5,1,龙格现象,二、分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).,
7、分段线性插值,三、分段抛物插值,三、分段抛物插值,2.6 三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。一、三次样条函数,y=L10(x),每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。,y=L10(x),二、三次样条插值函数的建立,y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求法见5.3节追赶法。,y=L10(x),y=L10(x),知识结构图二,插值法,工具,分段多项式插值,存在唯一性,多项式插值,Hermite插值,插值公式,误差估计,差商、差分,Lagrange插值基及函数,定义性质,定义性质,导数型差商型,Lagrange插值多项式Newton插值多项式 等距节点插值公式,存在唯一性误差估计 插值公式,分段线性插值（公式、误差估计、收敛性）,分段三次Hermite插值（公式、误差估 计、收敛性）,三次样条插值（公式、存在唯一 性、误差估计、收敛性）,End!,
