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1、使用教材:数值分析 华南理工大学出版社 韩国强 林伟健等编著,计算机专业基础课程:计算方法,数 值 分 析,华南理工大学计算机学院,林伟健制作,本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。,数 值 分 析目录,第 1 章 误差第 2 章 代数插值与数值微分第 3 章 数据拟合第 4 章 数值积分第 5 章 解线性代数方程组的直接法 第 6 章 解线性代数方程组的迭代法 第 7 章 非线性方程和非线性方程组的数值解 第 8 章 矩阵特征值和特征向量的数值解法第 9 章 常微分方程初值问题的数值解法,本课程的特点：实用性强。,要求掌握：1数值分析的基本概念 2.各种计算方法的基本思想
2、、推导过程、计算过程和在计算机上如何实现 3某些计算方法的误差估计和收敛性的判别,理论上课时数：40 上机实验时数：8,参考书：1.数值逼近李岳生、黄友谦 2.数值分析李庆扬、王能超、易大义,第 1 章 误 差,1.1 误差的来源 1.2 误差、误差限和有效数字的概念 1.3 相对误差和相对误差限的概念 1.4 数值运算的误差分析 1.5 数值计算中的注意问题,1.1 误差的来源,按误差所产生的原因，归纳起来可以把误差分为四种:模型误差、观测误差、方法误差(截断误差)和舍入误差。,1.方法误差,用近似方法得到的解与数学模型的准确解之间必然存在误差，这种误差称为方法误差，有时也称为截断误差。,例
3、如，求,的解。,简单迭代法,牛顿迭代法,2.舍入误差,舍入得到的数与准确数之间的误差，称为舍入误差。,1.2 误差、误差限和有效数字,1.误差,定义1-1 设准确值,误差也称为绝对误差。,，则近似值与准确,的近似值为,值之间的差称为误差。,（1.1）,当误差为正值时，说明近似值偏大，此时称为强近似；当误差为负值时，说明近似值偏小，此时称为弱近似。,误差有时记为,2.误差限,定义1-2 若,，则,近似值的误差限也记为,称为近似值,的误差限。,。,例1-1 假设用米尺来测量某物体的长度，测得其长度为835毫米，求出该物体实际长度的范围。解 设该物体的实际长度为x，则由米尺的精度可以知道，近似值与准
4、确值之差的绝对值不会超过半个毫米。即有,毫米,亦即 834.5毫米x 835.5毫米,或,毫米,3.有效数字,当一个数值有很多位小数时，我们常常按四舍五入的原则取这个数的有限位数来表示这个数。例如：,取6位数字得,取3位数字得,取5位数字得,这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限是它末位的半个单位。,可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。,定义1-3 若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，且从该位开始往左数到的第一位非0 数字共有n位，则称近似值x*具有n位有效数字。例如，,具有3位有效数字。这是因为,规律：凡是经过四舍五入所得到的
5、近似值，它的有效数字位是等于从该近似值的末位开始往左数起到第一位非0 数字的位数。,同理，,具有5位有效数字。,具有6位有效数字。,例如，0.045678 0.0457 3 位 具有3 位有效数字 又如，8.0005 8.00 3 位 具有3位有效数字,例1-2 若,近似值,的近似值为,，则,有多少位有效数字?,解,顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效数字。,的误差限为该值小数点后,第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，,具有4位有效数字。,4.有效数字与误差限的关系,设准确值,，且将,的近似值为,则近似值,表示为,（p为整数，,为09之间的数字）,若有,（1.2）,具有n位有效数字
6、。,按照这个定义，如果知道近似值的误差限，就可以知道它有多少位有效数字；反过来，如果知道近似值有多少位有效数字，就可以知道它的误差限为多少。,例1-3 假设,解,=0.0012345=0.12345,=0.0012345是准确值,的具有5 位,有效数字的近似值，则它的误差限为多少？,所以有,由此得到,即,的误差限为,例1-4 利用有效数字与误差限的关系求解例1.2。,因此，求得,解,由于,从而得到,而,即3.1415有4位有效数字。,1.3 相对误差和相对误差限,1.相对误差,两个工人的技术水平是否一样？,工人B：2000 1,两个工人的次品率：,工人A：1000 1,（1.3）,定义1-4
7、若记,，则,称为,的相对误差。,近似值,的相对误差有时也记为,。,相对误差也定义为,2.相对误差限,，则,定义1-5 若记,称为近似值,对（1.3）两边取绝对值后得到,。,的相对误差限。,近似值,的相对误差限有时也记为,3.相对误差限与有效数字的关系,（1.4）,另一方面，对,定理1-1 若近似数,则其相对误差限为,具有n位有效数字，,证,据题意，,具有n位有效数字，按有效数字的等价定义有,从而,于是,两边求绝对值得到,有效数字位越多，相对误差限就会越小。,例1-5 已知,因为n=4，由公式（1.4）得,用来表示,具有四位有效数字，求,的相对误差限。,解,所以,的相对误差限为,定理1-2 若近
8、似数,，且相对误差限满足关系式,则,具有n位有效数字。,证,据有效数字的等价定义，我们只须证明,从而证得,具有n位有效数字。,1.4 数值运算中的误差估计,从而有,的相对误差,对于近似值,，函数,在,舍去右边第二项得到,（1.6）,即,的绝对误差,由（1.6）可以得到,附近按泰勒展式展开得到,（1.5）,对（1.5）两边取绝对值得,故,的相对误差限,的误差限,而,（1.9）,例1-6 在计算球的体积时，为了使相对误差限为1%，问测量半径r时允许的相对误差限为多少？,从而有,解,计算球的体积公式为,设体积,的近似值为,，半径,的近似值为,，则由,（1.9）得到相对误差限估计式为,这说明，测量半径
9、r时允许的相对误差限为1/300。,例1-7 假定某长方形运动场的长为x，宽为y，并实地测得其长x*=100.30米，宽y*=80.50米，若x*和y*的误差限都是0.005米，试求其面积s的近似值s*的误差限和相对误差限。,由两个数的积的相对误差限估计式得,解,据题意，,由两个数的积的误差限估计式得,1.5 数值计算中应注意的一些问题,1.5.0.1 避免两个相近的数相减,当遇到两个相近的数相减时，参与运算的数应当多保留几位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发生。,由1.4节可知,可以看到，如果两个相近的数相减，则,而相对误差限就会比较大，故有效数字位会大大减少。,较小，,例1-8 给
10、定,若使用计算机计算有,，应如何变换公式使有效数字位增加？,，若使用计算器取四位有效数字计算,解,使用计算器计算取四位有效数字得,从而得到,但由于,而使用计算器取四位有效数字得,所以有,这说明变换公式后能使有效数字位由1位增加到3位。,1.5.0.2 要防止小数被大数“吃掉”而使有效数字位损失,例1-9 求一元二次方程,在数值运算中，如果两个参与运算的数相差太大，则小数有可能被大数“吃掉”而使有效数字位损失，从而影响计算结果的可靠性。,的根。,远远大于,解,求一元二次方程的根可以使用公式,有可能,可能损失有效数字位，使计算结果出现错误。,按新的求根公式计算得到方程两个准确根为,例如，在只有7位
11、有效数字的计算机系统上使用求根公式解方程,得到的两个根为,要避免这种错误的发生，可以修改求根公式为，,1.5.0.3 要注意减少运算的次数,对于一个计算问题，如果能减少运算次数的话，我们不仅能减少计算时间，提高运行的速度，而且还可以减少误差的积累。,如果把原式子改写为,解,按公式直接计算每一项后，再把每一项求和，就要进行,则计算n次多项式的算法可以是,按秦九韶算法计算n次多项式的值，只需要n次乘法和n次加法。,的值。,例1-10 计算n次多项式,次乘法和n次加法。,1.5.0.4 避免做除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法,用绝对值较小的数去除绝对值较大的数，得到的数一定会较大，有可能会产生溢
12、出的错误。如果不溢出，也有可能使舍入误差严重增大，导致最后结果不可靠。,从而解得,解,容易验证，方程组的解为:,在运算过程中，,例1-11 求解方程组,把第一个方程乘上1/0.0003加到第二个方程得,按四舍五入原则取小数点后四位进行运算。,把x2代入第一个方程求得,（错误）,1.5.0.5 要选择数值稳定的计算公式,定义1-6 一种数值方法，若原始数据有误差，而在计算的过程中，由于舍入误差的传播，使得近似计算结果与准确值相差很大，则称这种数值方法是不稳定的。否则，在计算的过程中，若舍入误差得到控制，近似计算结果能逼近准确值，则称这种数值方法是稳定的。,解,，试问用递推公式,例1-12 给定,采用正向递推和逆向递推求,的值是否稳定？,按给定的递推公式采用正向递推计算,设,的近似值为,则有,从而有,对上式两边求绝对值得,的值是不稳定的。,按递推公式采用逆向递推求值时，误差传播逐步减少。因此，按给定的递推公式采用逆向递推计算,但由递推公式我们得到,从而若已知,，则,的近似值,的近似值为,将上两式相减得,对上式两边求绝对值得,的值是稳定的。,本章结束,
