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1、应力与应变分析,第 八 章,辅 助 学 习 资 料,重 点 与 难 点,分析结构危险点的应力时，了解该点的应力状态是关键。在该处截取单元体时，应取两个横截面为其中一对平面，因为横截面上的应力可用已知的公式计算。,平面应力状态下，过一点的所有截面中，必有一对相互垂直的截面是主平面。主平面上切应力为零。,平面应力状态下，过一点的所有截面中，必有一对相互垂直的截面是切应力取极值的平面（有的教材中称之为主切平面）。主切平面与主平面成 45角。主切平面上的正应力为两个主应力的平均值。,但上述切应力的极值并不一定是该点处的最大切应力。最大切应力应是第一主应力与第三主应力之差的一半。,应变的计算方式与应力计
2、算对应。注意切应变代替切应力时总带有一个 的系数。,广义 Hooke 定律应用中，仅是正应力不影响同一坐标系下的切应变，切应力不影响同一坐标系下的正应变。不可一般地理解为正应力不引起切应变。,从应力计算斜方向上的应变时，可以先用广义 Hooke 定律计算出沿坐标轴方向的应变，再利用斜方向上的应变公式算出指定方向上的应变；也可以利用斜方向上的应力公式先算出两个相互垂直的指定方向上的应力，再在斜方向上用广义 Hooke 定律计算应变。两种计算的结果是一致的。广义 Hooke 定律可以用于各向同性体中的任意方向。,在解释杆件受拉、受压、受扭破坏形式的时候应注意两方面：一是构件的主应力和最大切应力，一
3、是材料的抗拉和抗剪的能力。,纯剪状态是双向应力状态，其第一、第三主应力大小相等（数值与纯剪切应力相同），符号相反。主应力方向与纯剪切应力方向相差45。,是 非 判 断 自 测 题,对于某个指定的点考虑斜截面上的正应力和切应力，当斜截面的倾斜程度越来越大时，正应力越来越小，切应力越来越大。,某点的主应力就是过该点的所有方位微元面上法向应力的极值。,某点处 x=5，y=5，xy=0，则该点的第一、第二和第三主应力依次是 1=5，2=5，3=0。,在上题所述的点上不存在切应力。,某点处 x=0，y=0，xy=5，则该点处不存在正应力。,在上题所述的点上的第一、第二和第三主应力依次是 1=5，2=0，
4、3=5。,某点处 x，y，xy 全都不为零，则该点一定处于双向应力状态。,纯剪状态一定是双向应力状态。,在深海中放置一个小的立方钢块，钢块表面受到静水压力 15 MPa，此钢块处于单向应力状态。,此钢块的三个主应力均为 15 MPa。,此钢块的三个主方向必定是垂直于海平面和平行于海平面的。,在正应力取极值的微元面上切应力为零。,在切应力取极值的微元面上正应力为零。,在弯曲梁中，中性层上的点的正应力为零，上下边缘处的切应力为零。,在圆轴扭转时，轴内只有切应力而没有正应力。,铸铁棒扭转时，由于在与轴线成45的螺旋面上有最大的切应力，因此铸铁棒就沿这个螺旋面断裂。,在各向同性体的小变形情况下，微元面
5、上的正应力对该微元面方位的角应变没有影响，切应力也不会引起微元面法线方向上的线应变。,在各向同性体的小变形情况下，由于拉伸杆中各横截面上只有正应力而没有切应力，因此杆中不会有切应变产生。,在各向同性体的小变形情况下，应力主方向与应变主方向是重合的。,矩形薄板的四个边沿上承受垂直于边沿的均匀拉力，则拉力大的方向上变形大，拉力小的方向变形小；这一点对各向同性体和各向异性体都是正确的。,例 如图直径 d=20 mm 的实心圆柱承受弯曲和扭转的双重作用。在 A 点处由单纯弯矩作用引起的正应力为120 MPa，而 A 点处的最大正应力为 160 MPa。求扭矩 T 的大小。,最大正应力,由之可得,典 型
6、 习 题 解 答,例 厚度为15 mm、内径为 0.75 m 的圆筒由带钢焊制而成，焊缝与轴线间的夹角为45，现圆筒有内压 8 MPa，求焊缝上的正应力和切应力。,轴向应力,周向应力,45 方向上的正应力和切应力分别为,例 厚度为 2 mm 的正方形板在水平和竖直两个方向受到均布荷载和的作用。在对角线上的应变片读数为 150。若已知弹性模量 E=40 GPa，泊松比=0.25，水平荷载 qx=50 N/mm，求 qy 的大小。,易得,故,（压）,例 试求：（1）如图应变片 d 的理论读数；（2）材料的弹性模量 E=200 GPa，泊松比 为 0.3，不考虑垂直于测试平面方向上的应变，求该处平面
7、内的主应力。,主应变,主应力,例 证明图中平板 A 处应力为零。,在两个斜截面上，正应力和切应力均为零，故应力矢量 p 为零。,故 A 处应力为零。,例 如图的漏斗状薄壁件上端有力作用，下端用胶与刚性固定物粘结。胶的许用拉应力为，许用切应力为，为使胶层不致于脱开，荷载 P 的值最大允许为多少？,在底部取一微元体如图，由力平衡得胶层上的正应力,建立如图的坐标系,x,y,q,y,胶层上的切应力,故有,n,注意到图形的对称性，建立如图坐标系,例 某点应力状态如图，已知一个主应力为 5q，求其它的主应力和。,如图坐标系是主轴坐标系。,结果不合理,消去，可得,取,消去，可得,例 某点应力状态如图，已知一
8、个主应力为 5q，求其它的主应力和。,取,例 求法线与三个主方向成等角的微元面上的正应力与切应力。,在主轴坐标系下，与三个主方向成等角的单位矢量的分量为,这样的微元面有八个，故称其上的应力为八面体应力。,例 求法线与三个主方向成等角的微元面上的正应力与切应力。,八面体切应力与第四强度理论相当应力的关系,例 铸铁的内摩擦系数 f 0.35，据此证明铸铁杆件压缩破坏面的倾角约为 55。,由于铸铁的抗剪能力远小于抗压能力，因此在压缩时的破坏应是抗剪强度不足引起的破坏。,内摩擦的存在，阻止了裂纹的生成和发展。,切应力,因此，构件初始破坏，是由破坏面上的切应力与摩擦应力之差所引起的。,摩擦应力与压应力成
9、正比,切应力,摩擦应力,总切应力,破坏在总切应力最大的方位上发生，故破坏倾角 应满足,例 材料的 E=200 GPa，=0.25，已知双向应力状态下某点处的最大切应变=5104，两个相互垂直方向上的线应变之和为 104，求该点的主应力。,不妨将这两个相互垂直的方向为 x 和 y 方向，由广义Hooke 定律，,由于有,故有,又有,故有,（a）（b）两式联立可解得：,(a),(b),例 线应变公式的又一种证明。,均为小量，将上式展开时可忽略它们的平方项和交叉项。,应用公式,再次忽略高阶微量：,应用三角公式即可得：,例 切应变公式的又一种证明。,例 如图的橡皮圆柱体放置在刚性圆筒内，已知橡皮的弹性常数为 E 和，求橡皮中的主应力。,由于圆筒是刚性的，圆柱的状态是轴对称的，故圆柱沿径向和周向的应变为零。,如图的单元体表面上不存在切应力，故其表面均为主平面。,易得,例 如图，梁中部的立柱可视为刚性的。斜撑是直径为 d 的圆杆。在距左端为 a 处 K 点有一直角应变花，其一沿轴向。梁与斜撑材料相同，求三个应变片的理论读数。,本例是超静定问题。设立柱对梁的支撑力为 RC，则可得 C 点下沉量,平衡方程,斜撑物理方程,协调方程,距左端为 a 的横截面上：,两端铰的支反力,该横截面 K 点处的正应力,K 点处的切应力,应力单元体如图。,RA,应用广义 Hooke 定律,对于图示坐标系,
