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1、,自动控制原理,主讲：吴仲阳,第二章 控制系统的数学模型,1 基本概念,2 结构图及其等效变换,3 信号流图与梅森（Mason）公式,退出,自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量
2、方程和向量的状态方程。本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对描述的线性定常微分方程进行积分变换，得出传递函数，方框图，信号流图，频率特性等数学描述。线性系统实际上是忽略了系统中某些次要因素，对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨论的系统，除第七章外，均指线性化的系统。,退出,控制系统的数学模型 综述,1 基本概念,数学模型：,退出,数学模型是描述系统动态特性的数学表达式；数学模型可以有多种形式。在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论中，采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图，状态图是数学模型的图形表达形式。建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是
3、十分重要的。合理包括两条：（1）反映元件及系统的特性要正确；（2）写出的数学式子要简明；控制系统数学模型的要求可采用解析法和实验法。解析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来建立数学模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现的运动机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的数学模型要合理。实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种方法也成为系统辨识。线性系统最重要的特性是可用叠加原理。对非线性系统当非线性不严重或变量变化范围不大时，可利用小偏差线性化的方法使数学模型线性化。,微分
4、方程 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。,退出,用解析法建立运动方程的步骤是：1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；各导数项按降幂排列；将方程的系数通过元件或系统
5、的参数化成具有一定物理意义的系数。,说明：1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面的信息。2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入量的大小和性质无关。4）传递函数包含联系输入量与输出量所必须的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）。5）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质。自动控制系统是由若干个典型
6、环节组合而成的，典型环节包括比例环节，惯性环节，积分环节，微分环节，振荡环节，一阶比例微分环节，二阶比例微分环节，不稳定环节，延迟环节等。,传递函数 线性定常系统可由下列微分方程描述：传递函数可定义为：在零初始条件下，在线性定常系统中，系统的输出量c(t)的拉氏变换C(s)与输入量r(t)的拉氏变换R(s)之比既,退出,几个基本公式：,退出,-,-,c(t)对控制信号r(t)的闭环传函记为,即,c(t)对扰动信号 f(t)的闭环传函记为,(t)对控制信号r(t)的闭环传函记为,(t)对干扰信号 f(t)闭环传函记为,若H(s)=1,共同规律如下：其分子等于对应所求的闭环传递函数的输入信号到输出
7、信号所经过的传递函数的乘积，并赋以符号，其分母等于1加上开环传函。,若H(s)=1,2 结构图及其等效变换,控制系统都是由一些元部件组成的，根据不同的功能，可将系统划分为若干环节（也叫做子系统），每个环节的性能可以用一个单向相的函数方框来表示，方框中的内容为这个环节的传递函数。根据系统中信息的传递方向，将各个环节的函数方框图用信号线依次连接起来，就构成了系统的结构。系统的结构图实际上是每个元件的功能和信号流向的图解表示。系统的结构图又称之系统的方框图。,退出,写出组成系统的各个环节的微分方程,求取各环节的传递函数，画出个体方框图,从相加点入手，按信号流向依次连接成整体方框图，既系统方框图,绘制
8、方框图的步骤,方框图的简化是通过方框图的等效变换和方框图的运算法则来实现的。1）等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要掌 握好如下两点：前向通道中各传递函数的乘积不变；回路中传递函数 的乘积不变；通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图。2）方框图的运算法则 根据下表所列运算法则，求出系统的传递函数。,退出,G1,G2,G1 G2,G1,G2,G,H,G1 G2,3 信号流图与梅森（Mason）公式,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成。每一个节点表示系统的一个变量，而每两个节点间的连接支路为该两个变量之
9、间信号的传输关系。信号流向由支路上的箭头表示，而传输关系（增益，传递函数）则标注在支路上。箭头方向相同的支路顺序连接，沿箭头方向而穿过各相连支路的途径，统称为通路。若通路与任一节点相交不多于一次，称开通路；若通路的终点就是通路的起点，且与其它节点相交不多于一次，就称为闭通路（回路）。若要确定信号流图中输入节点与输出节点间的总增益G（或称二节点间的传递函数），可以应用梅森公式，即,退出,式中，Pk为第k条前向通路的传递函数；n为前向通路总数；为流图的特征式,为所有不同回路的增益之和；,为每两个互不接触回路增益乘积之和；,为每三个互不接触回路增益乘积之和；,为在中除去与第k条前向通路相接触的回路后
10、的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。,例题1（教材P23）：设有一RC两级滤波网络如图。其输入信号为，输出信号为，试求两级串联后传递函数。,退出,退出,解：（1）不计负载效应 第一级滤波器的输入信号是，输出信号是，其传递函数为,第二级滤波器的输入信号是 输出信号为，其传递函数为,根据传递函数的相乘性，有,退出,（2）考虑负载效应 第一级的传递函数为,第二级的传递函数没有变，因此总的传递函数为,退出,比较（1）、（2）两式可知，考虑负载效应时，传递函数 的分母中多了一项。它表示了两个简单 RC 电路的相互影响。因此，在求串联环节的等效传递函数时应考虑环节间的负载效应，否则容易得出错误的结
11、果。所以提出两点注意：,1）多个环节相串联在求其总传递函数时要考虑负载效应；2）后一级的输入阻抗为无限大（或很大）时，可以不考虑它对前级的影响。,例题2（教材P44）：运算放大器电路如下图所，求其传递函数。,退出,u-,R1,+,-,R1,R0,R0,e1,e2,u+,e3,退出,整理，得,解 设运算放大器阻抗很大，加标号U-、U+如图所示，,（1）,（2）,退出,由模电知，得,退出,例3（教材P29）：绘制如图2-21所示 RC 电路的方框图。,退出,写出组成系统的各个环节的微分方程,求取各环节的传递函数，画出个体方框图,从相加点入手，按信号流向依次连接成整体方框图，既系统方框图,绘制方框图
12、的步骤,退出,解：（1）写出组成系统的各环节的微分方程，求取各环节的传递函数,退出,（2）画出个体方框图,退出,（3）从相加点入手，按信号流向依次连接成完整方框图。,退出,方框图的特点是：方框图是从实际系统抽象出来的数学模型，不代表实际的物理结构，不明显表示系统的主能源。方框图是从传递函数的基础上得出来的，所以仍是数学模型，不代表物理结构。系统本身有的反映能源有的不反映能源，如有源网络和无源网络等，但从方框图上一般不明显表示出来。能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相互关系，以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响。更直观、更形象是针对系统的微分方程而言的。方框图的流向是单向不可逆的。,退
13、出,方框图不唯一。由于研究角度不一样，传递函数列写出来就不一样，方框图也就不一样。研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它的方框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、输出关系，在此基础上，无论是研究整个系统的性能，还是评价每一个环节的作用都是很方便的。,退出,1分支点的移动规则（教材P29）根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则，可将分支点顺着信号流向或逆着信号流向移动。（1）前移,退出,（2）后移,退出,2相加点移动规则,（1）前移,退出,（2）后移,退出,相加点移动前后，分出支路信号保持不变。结论：相加点前移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数倒数的函数方框；相加点
14、后移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数的函数方框。,分支点移动前后，分支路信号是保持不变的。结论：分支点前移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数的函数方框；分支点后移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数倒数的函数方框。,退出,3等效单位反馈变换规则,退出,4交换或合并比较点原则,退出,退出,5内反馈线消除规则 内反馈线消除的规则是，消除内反馈前后保证输入，输出信号关系不变。其方法是，利用，的计算公式及相加点，分支点移动规则。,在闭环系统中，（1）前向通道中传递函数的乘积保持不变；（2）反馈回路中传递函数的乘积保持不变。,退出,5内反馈线消除规则 内反馈线消除的规则是，消除内反
15、馈前后保证输入，输出信号关系不变。其方法是，利用，的计算公式及相加点，分支点移动规则。,在闭环系统中，（1）前向通道中传递函数的乘积保持不变；（2）反馈回路中传递函数的乘积保持不变。,退出,例4（教材P31）试简化系统结构图，并求系统传递函数。,退出,退出,例5（教材P45）：通过方框图变换求取如下图所示系统的传递函数。,退出,-,退出,解.方框图变换,原方框图可变换为,退出,退出,退出,3 信号流图与梅森（Mason）公式,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成。每一个节点表示系统的一个变量，而每两个节点间的连接支路为该两个变量之间信号的传输关系。信
16、号流向由支路上的箭头表示，而传输关系（增益，传递函数）则标注在支路上。箭头方向相同的支路顺序连接，沿箭头方向而穿过各相连支路的途径，统称为通路。若通路与任一节点相交不多于一次，称开通路；若通路的终点就是通路的起点，且与其它节点相交不多于一次，就称为闭通路（回路）。若要确定信号流图中输入节点与输出节点间的总增益G（或称二节点间的传递函数），可以应用梅森公式，即,退出,式中，Pk为第k条前向通路的传递函数；n为前向通路总数；为流图的特征式,为所有不同回路的增益之和；,为每两个互不接触回路增益乘积之和；,为每三个互不接触回路增益乘积之和；,为在中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条
17、前向通路特征式的余因子。,退出,节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用符号“。”表示。传输：两个节点之间的增益或传递函数称为传输。支路：联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。源点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。阱点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。,退出,输入节点（源点）,输出节点（阱点）,输入节点（源点）,退出,混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点称为混合节点。通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，称为通路。如果通路与任一节点相交不多于一次，就称为开通路；如果通路的终点
18、就是通路的起点，并且与任何其它节点相交的次数不多于一次，称为闭通路或回路；如果通路通过某一节点多于一次，那么这个通路既不是开通路，又不是闭通路。回路增益：回路中各支路传输的乘积，称为回路增益。,退出,不接触回路：如果一些回路没有任何公共节点，就把它们叫做不接触回路。自回路：只与一个节点相交的回路称为自回路。前向通路：如果在从源点到阱点通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路增益。,例5（教材P46）试应用梅森公式求取下图所示方框图的传递函数。,退出,退出,解.本题信号流图为,1,G1,G2,G3,G4,-H1,-H2,-H3,-H4,1,-1,退出,
