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1、进 入,学案1 椭 圆,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做.这两个定点F1,F2叫做椭圆的，两焦点的距离叫做椭圆的.（2）平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫，定点是椭圆的，定直线叫椭圆的，小于1的正常数叫.,离心率,椭圆,焦点,焦距,椭圆,焦点,准线,2.椭圆的标准方程（1）=1(ab0)的焦点：，其中c=;（2）=1(ab0)的焦点：，其中c=.3.椭圆的参数方程中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程 为(为参数).,F1(-c,0
2、),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),返回目录,4.椭圆的几何性质以标准方程=1(ab0)为例：（1）范围：;（2）对称性：;（3）顶点：；长轴：，短轴：;（4）离心率：;（5）准线：;（6）焦半径：|PF1|=,|PF2|=,其中P(x,y)是椭圆上任一点.,a-ex,|x|a,|y|b,对称轴：x=0,y=0，对称中心为O(0,0),A(a,0),A(-a,0),B(0,b),B(0,-b),|AA|=2a,|BB|=2b,e=,0e1,a+ex,返回目录,考点一 求椭圆的标准方程,【例1】根据下列条件求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且
3、过点(2,-6);（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近端点距离是.,返回目录,【分析】运用待定系数法求椭圆的标准方程，也就是设法建立关于a,b的方程组；先定型，再定量；若位置不确定时，考虑是否有两解.有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m0,n0)，由题目所给条件求出m,n即可.,【解析】（1）若椭圆方程为=1(ab0)，则由a=2b及点(2,-6)在椭圆上，可得a2=148,b2=37.若椭圆方程为=1(ab0)，则由a=2b及点(2,-6)在椭圆上，可得a2=52,b2=13.所求椭圆方程为=1或=1.,返回目录,（2）可设椭圆方程为=1
4、（ab0），由题意知a=b,a-c=-，又a2=b2+c2，可求得a2=10,b2=5.椭圆方程为=1.,【评析】题（1）由于椭圆焦点位置未定，需要讨论两种情形，易错之处在于不讨论，或是讨论了第 种情形，第种情形误以为简单交换，变成=1，实际上两种情形下的a,b取值是不同的.,返回目录,对应演练,已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OPOQ,|PQ|=，求椭圆方程.,设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0),设P(x1,y1)，Q(x2,y2),y=x+1 mx2+ny2=1(m+n)x2+2nx+n-1=0,由,消去y，整理得,返回目录,=4n
5、2-4(m+n)(n-1)0,即m+n-mn0,OPOQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1,y2=x2+1,代入，得2x1x2+(x1+x2)+1=0,m+n=2.由弦长公式，得.将m+n=2代入，得 mn=.m=m=n=n=.显然满足0.故所求椭圆的方程为 或,联立 得,或,返回目录,考点二 椭圆的几何性质,【例2】自椭圆=1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB与OM平行.（1）求此椭圆的离心率；（2）P为椭圆上一点，F2为右焦点，当|PF1|PF2|取最大值时，求点P的坐标.,【分析】本题涉及等量关系转化为不等关系，
6、在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a,b,c的关系式，最后化归为a,c（或e）的关系式，利用方程求解.,返回目录,【解析】（1）如图8-1-3所示，由已知得M(-c,),A(a,0),B(0,b),kAB=-,由kOM=kAB得b=c,b2=c2.a2-c2=c2,即a2=2c2,e=.（2）解法一：|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|PF2|=a2.当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，上式取等号.即|PF1|PF2|的最大值为a2,此时P的坐标为(0,-b)或(0,b).,返回目录,解法二：由焦半径公式得|PF1|PF2|=（
7、a+ex0）(a-ex0)=a2-e2(x0为P的横坐标)-ax0a，当x0=0时，|PF1|PF2|取最大值a2.此时点P的坐标为(0,-b)或(0,b).,返回目录,【评析】（1）求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e的式子（或与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件（题设条件）获得关于a,b,c的关系式，最后化归为a,c（或e）的关系式（关于a,c的齐次方程），再依e=化成关于e的方程，利用方程思想求离心率.（2）求有关最值或范围问题，一般利用椭圆的第一定义中|PF1|+|PF2|=2a为定值，运用均值不等式或利用焦半径公式或利用椭圆的范围（有界性）性质转化
8、为不等式函数问题，这是解析几何中解决最值或范围问题的常见方法.,返回目录,对应演练,如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3,0）,右准线l的方程为x=12.（1）求椭圆的方程;（2）在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使P1FP2=P2FP3=P3FP1,证明:为定值，并求此定值.,返回目录,（1）设椭圆方程为=1（ab0）,因焦点为F（3,0）,故半焦距c=3.又右准线l的方程为x=,从而由已知=12,得=36.因此a=6,b=.故所求椭圆方程为=1.,返回目录,（2）如图，记椭圆的右顶点为A,并设AFPi=i(i=1,2,3),不失一般性，假设0i,且2=1+,3=1+.又设点Pi在
9、l上的射影为Qi,因椭圆的离心率e=，从而有|FPi|=|PiQi|e=(-c-|FPi|cosi)e=(9-|FPi|cosi)(i=1,2,3).解得(i=1,2,3).,返回目录,因此=而cos1+cos(1+)+cos(1+)=cos1-cos1-sin1-cos1+sin1=0.故 为定值.,返回目录,考点三 椭圆性质的综合应用,【例3】已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(-m,0)（m是大于0的常数）.（1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率.,【分析】（1）根据题目所描述的椭圆的性质求出椭圆
10、方程.（2）将|MQ|=2|QF|转化为定比分点问题，分两种情况求斜率.,返回目录,【解析】（1）设所求椭圆方程是=1(ab0).由已知，得c=m,所以a=2m,b=m.故所求椭圆方程是=1.（2）设Q(xQ,yQ)，直线l:y=k(x+m)，则点M(0,km).当MQ=2QF时，由于F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式，得.又点Q()在椭圆上，,返回目录,【评析】（1）根据条件判断椭圆方程是何种形式，然后用待定系数法求椭圆方程，关键是判定焦点在哪一个轴上.（2）将向量模的关系转化为定比分点问题是解决这一问的关键.,=1.解得k=2.当MQ=-2QF时，xQ=-2m,yQ=-km
11、.于是=1,解得k=0.故直线l的斜率是0或2.,返回目录,对应演练,设A，B分别为椭圆=1(a,b0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线.（1）求椭圆的方程；（2）设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明点B在以MN为直径的圆内.,返回目录,a=2c a=2=4，c=1，故椭圆的方程为=1.（2）证明：证法一：由(1)得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0).M点在椭圆上，.又M点异于顶点A，B，-2x02.,（1）依题意得,解得,从而b=.,返回目录,由P，A，M三点共线可得P（4,）.从而BM
12、=(x0-2,y0),BP=（2,）.BMBP=2x0-4+=将式代入式化简得BMBP=(2-x0),2-x00,BMBP0,于是MBP为锐角，从而MBN为钝角.故点B在以MN为直径的圆内.,返回目录,证法二：由（1）得A（-2,0）,B(2,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),则-2x12,-2x22，又MN的中点Q的坐标为依题意，计算点到圆心的距离与半径的差|BQ|2-|MN|2=()2+()-(x1-x2)2+(y1-y2)2.化简得|BQ|2-|MN|2=(x1-2)(x2-2)+y1y2.又直线AP的方程为y=,直线 BP的方程为y=，,返回目录,两直线与交点P在准线x=4上
13、，,即y2=.又点M在椭圆上，=1,即 于是将式代入式化简可得|BQ|2-|MN|2=(2-x1)(x2-2)0.从而B在以MN为直径的圆内.,返回目录,1.椭圆给出了两种定义，解题时，紧紧抓住焦点、准线这个特征，充分利用两种定义，尤其是椭圆的第 二定义，若运用恰当，可事半功倍（如解决求焦半径问题）.2.待定系数法和数形结合的方法是最基本的方法，在应用时要充分掌握椭圆的两种标准形式，焦点的位置，把握好椭圆图形的几何性质，体现出“形”的直观性.3.参数a,b,c,e及准线距、焦准距是椭圆固有的，与坐标系无关.4.关于存在性问题、焦点三角形问题，涉及的几何性质较多，尽可能在几何范畴内找出必要条件（最好是充要条件），再化归为代数问题进行计算.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
