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1、第六节椭圆第一课时椭圆的概念及其性质,第六节椭圆,椭圆的概念及其性质课件,【教材基础回顾】1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1,F2的距离_等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_,两焦点间的距离叫做椭圆的_.,的和,焦点,焦距,【教材基础回顾】的和焦点焦距,(2)集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;当2a|F1F2|时,M点的轨迹不存在.,(2)集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F,2.椭圆的标准方程和几
2、何性质,2.椭圆的标准方程和几何性质图形 标准方程_,-a,a,-b,b,-b,b,-a,a,坐标轴,原点,图形 性质范围_x_,_x_,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2c,(0,1),图形 顶点A1_,A2_A1_,【金榜状元笔记】1.椭圆方程中的a,b,c(1)a,b,c关系:a2=b2+c2.(2)e与 :因为e= ,所以离心率e越大,则 越小,椭圆就越扁;离心率e越小,则 越大,椭圆就越圆.,【金榜状元笔记】,2.在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时,要注意应用以下不等关系:-axa,-byb,0e1
3、.3.焦点三角形椭圆上的点P与焦点F1,F2若构成三角形,则称PF1F2为焦点三角形.焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系.,2.在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时,要注意应用以下不等,【教材母题变式】1.已知椭圆 =1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于()A.8B.7C.6D.5,【教材母题变式】,【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上,所以 解得6m10.因为焦距为4,所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.,【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x,2.曲线 =1与曲线 =1(k144)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等,2.曲线 =1
4、与曲线,【解析】选D.曲线 =1中c2=169-k-(144-k)=25,所以c=5,所以两曲线的焦距相等.,【解析】选D.曲线 =1中c2=16,3.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为(),3.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的,【解析】选B.由题意得椭圆的标准方程为所以a2= ,b2= ,所以c2=a2-b2= ,e2= ,e= .,【解析】选B.由题意得椭圆的标准方程为,4.(2017全国卷)已知椭圆C: =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(),4.(201
5、7全国卷)已知椭圆C: =1(a,【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d= =a,整理得a2=3b2,即a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即,【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到,【母题变式溯源】,【母题变式溯源】题号知识点源自教材1椭圆的标准方程P492,考向一 椭圆的定义及应用【典例1】(1)过椭圆 +y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则ABF2的周长为()A.8B.4 C.4D.2,考向一 椭圆的定义及应用,(2)(2018汕头模拟)若椭圆 =1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,
6、则PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24,(2)(2018汕头模拟)若椭圆 =1上一点P,(3)已知椭圆 =1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为()A.2B.3C.5D.7,(3)已知椭圆 =1上一点P到椭圆一个焦点F1的,【解析】(1)选A.因为椭圆方程为 +y2=1,所以椭圆的长半轴长a=2,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=4,且|BF1|+|BF2|=2a=4,所以ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8.,【解析】(1)选A.因为椭圆方程为 +y2=1,所以椭
7、圆,(2)选B.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m2+n2=4(36-16)=80,即(m+n)2-2mn=80,又m+n=26=12,所以mn=32,(2)选B.设|PF1|=m,|PF2|=n,【巧思妙解】选B.因为PF1PF2,所以PF1F2的面积 =16tan 45=16.(3)选D.因为a2=25,所以2a=10,所以由定义知,|PF1|+|PF2|=10,所以|PF2|=10-|PF1|=7.,【巧思妙解】选B.因为PF1PF2,所以PF1F2的面积,【技法点拨】椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2
8、)定义和余弦定理结合:求解关于焦点三角形的周长和面积问题.,【技法点拨】,【拓展】和椭圆有关的小结论(1)通径长为 (过焦点垂直于长轴的弦长).(2)P为椭圆 =1(ab0)上的点,F1,F2为其焦点,若F1PF2=,则三角形PF1F2的面积,【拓展】和椭圆有关的小结论,【同源异考金榜原创】1.已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆的两个焦点,过F2的直线l交椭圆于M,N两点,若MF1N的周长为12,则椭圆方程为(),【同源异考金榜原创】,【解析】选A.因为F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆的两个焦点,所以c=2,又根据椭圆的定义,MF1N的周长=4a=12,得a=3,进而得b= ,所
9、以椭圆方程为,【解析】选A.因为F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆的两,2.设F1,F2是椭圆 =1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=125,则PF1F2的面积为世纪金榜导学号12560276()A.30B.60C.90D.120,2.设F1,F2是椭圆 =1的两个焦点,P是椭,【解析】选D.由|PF1|PF2|=125,设|PF1|=12k,|PF2|=5k,因为|F1F2|=2c=26,|PF1|+|PF2|=2a=34,所以|PF1|=24,|PF2|=10,PF1F2为直角三角形,故PF1F2的面积为 2410=120.,【解析】选D.由|PF1|PF2|=125,
10、设|PF1,考向二 椭圆的标准方程及应用【典例2】(1)(2018宁德模拟)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为()世纪金榜导学号12560277,考向二 椭圆的标准方程及应用,椭圆的概念及其性质课件,(2)(2018成都模拟)与椭圆 =1有相同离心率且经过点(2,- )的椭圆方程为_.,(2)(2018成都模拟)与椭圆 =1有相同离心,【解析】(1)选A.设椭圆的标准方程为 (ab0).由点P(2, )在椭圆上知 又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,【解析】(1)选A.设椭圆的标
11、准方程为,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,又c2=a2-b2,联立 得a2=8,b2=6,故椭圆方程为,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,(2)因为 若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为 (mn0),则 从而 又 所以m2=8,n2=6.,(2)因为,所以方程为 若焦点在y轴上,设方程为 =1(hk0),则 =1,且 解得 故所求方程为 答案:,所以方程为,【一题多解】解答本题还可以采用以下方法:若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为 =t(t0),将点(2,- )代入,得t= =2.故所求方程为,【一题多解】解答本题还可以采用以下方法:若焦点在,若焦点
12、在y轴上,设方程为 =(0),代入点(2,- ),得= ,故所求方程为答案:,若焦点在y轴上,设方程为 =(0),【误区警示】当椭圆焦点位置不明确时,可设为 (m0,n0,mn),也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB).,【误区警示】当椭圆焦点位置不明确时,可设为,【技法点拨】求椭圆标准方程的步骤(1)判断椭圆焦点位置.(2)设出椭圆方程.,【技法点拨】,(3)根据已知条件,建立方程(组)求待定系数,注意a2=b2+c2的应用.(4)写出椭圆方程.,(3)根据已知条件,建立方程(组)求待定系数,注意a2=b2,【同源异考金榜原创】1.设F1,F2分别是椭圆E: =1(0b2)的左、右
13、焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若3|AF1|=5|AF2|,AF2x轴,则椭圆E的方程为_.,【同源异考金榜原创】,【解析】因为3|AF1|=5|AF2|,由定义有|AF1|+|AF2|=4,解得|AF2|= ,又AF2x轴,故|AF2|= ,所以b2=3,故椭圆方程为 答案:,【解析】因为3|AF1|=5|AF2|,由定义有|AF1|+,2.已知中心在坐标原点的椭圆过点A(-3,0),且离心率e= ,则椭圆的标准方程为_.世纪金榜导学号12560278,2.已知中心在坐标原点的椭圆过点A(-3,0),且离心率,【解析】若焦点在x轴上,由题知a=3,因为椭圆的离心率e= ,c= ,
14、b=2,所以椭圆方程是 若焦点在y轴上,则b=3,a2-c2=9,又离心率e= ,解得a2= ,所以椭圆方程是 答案:,【解析】若焦点在x轴上,由题知a=3,因为椭圆的离心,考向三 椭圆的简单几何性质高频考点,考向三 椭圆的简单几何性质高频考点,【典例3】(1)(2018泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆C: =1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,PF1F2=30,则椭圆的离心率为(),【典例3】(1)(2018泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆,(2)若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 的最大值为()A.2B.3C.6D.8,(2
15、)若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点,(3)(2018衡水模拟)已知直线l1经过椭圆 =1(ab0)的左焦点F1,交椭圆于B(0,b)和A,且 直线l2经过椭圆的右焦点,且垂直于椭圆的长轴,交椭圆于MN,|MN|=1,则这个椭圆的方程为_.世纪金榜导学号12560279,(3)(2018衡水模拟)已知直线l1经过椭圆,【解析】(1)选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线,所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90,因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.,【解析】(1)选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2.,由
16、勾股定理得|F1F2|= 由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a= 2c=|F1F2|= |PF2|,即c= 则e=,由勾股定理得|F1F2|=,(2)选C.由椭圆 可得F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y)(-2x2),则 =x2+x+y2=x2+x+ = (x+2)2+2,-2x2,当且仅当x=2时, 取得最大值6.,(2)选C.由椭圆 可得F(-1,0),(3)因为B(0,b),F1(-c,0), 所以A ,代入椭圆方程得 =1,所以 因为|MN|=1,所以 =1,(3)因为B(0,b),F1(-c,0),联立得,a2=4,b2=1,所以椭圆方程为 +y2=
17、1.答案: +y2=1,联立得,a2=4,b2=1,【一题多变】若将本题条件“线段PF1的中点在y轴上,PF1F2=30”变为“P到两焦点的距离之比为21”,则椭圆的离心率的取值范围为_.,【一题多变】若将本题条件“线段PF1的中点在y轴上,PF1,【解析】设P到两个焦点的距离分别是2k,k,根据椭圆定义可知3k=2a,又结合椭圆的性质可知,椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k2c,所以2a6c,即e .,【解析】设P到两个焦点的距离分别是2k,k,又因为0e1,所以 e1.故椭圆的离心率的取值范围为 .答案:,又因为0e1,所以 e1.,【技法点拨】1.求椭圆离心率的方法(1)直
18、接求出a,c,利用离心率公式e= 求解.(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e= 求解.,【技法点拨】,(3)由椭圆的定义求离心率.e= ,而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和,2c是焦距,从而与焦点三角形联系起来.,(3)由椭圆的定义求离心率.e= ,而2a是椭圆上,2.利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求范围用椭圆上点的坐标表示,利用坐标范围建立不等关系.(2)将所求范围用a,b,c表示,利用a,b,c自身的范围、关系求范围.,2.利用椭圆几何性质求值或范围的思路,【同源异考金榜原创】命题点1求椭圆离心率(或范围)1.已知椭圆 =1(ab0),以O为圆心,短半轴长为半径作
19、圆O,过椭圆的右焦点F2作圆O的切线,切点分别为A,B,若四边形F2AOB为正方形,则椭圆的离心率为世纪金榜导学号12560280(),【同源异考金榜原创】,【解析】选B.由题意知|OA|=|AF2|=b,|OF2|=c,OAAF2,所以c2=2b2,a2=b2+c2=3b2,离心率e=,【解析】选B.由题意知|OA|=|AF2|=b,|OF2|=,命题点2与椭圆性质有关的最值问题2.已知点F1,F2分别是椭圆 =1的左、右焦点,点M是该椭圆上的一个动点,那么| |的最小值是()世纪金榜导学号12560281A.4B.6C.8D.10,命题点2与椭圆性质有关的最值问题,【解析】选C.设M(x0
20、,y0),F1(-3,0),F2(3,0).则 =(-3-x0,-y0), =(3-x0,-y0),所以 =(-2x0,-2y0),【解析】选C.设M(x0,y0),F1(-3,0),F2(3,因为点M在椭圆上,所以0y0216,所以当y02=16时,| |取最小值为8.,因为点M在椭圆上,所以0y0216,核心素养系列（五十四）直观想象椭圆定义问题中的核心素养以学习过的椭圆的相关知识为基础,借助几何直观感知一类问题共同特征的“直观想象”,然后结合图形理解和解决椭圆的相关新问题.,核心素养系列（五十四）,【典例】已知点P是椭圆 =1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M为PF1F2的内心,若 成立,则的值为(),【典例】已知点P是椭圆 =1上一点,F1,F2分,【解析】选D.设内切圆的半径为r,因为 所以 ;由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以ar=cr,c= ,所以,【解析】选D.设内切圆的半径为r,因为,椭圆的概念及其性质课件,
