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1、Stokes 公式,一、斯托克斯(stokes)公式,前面所介绍的 Gauss 公式是 Green 公式的推广下面我们 从另一个角度来推广Green 公式。,Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，stokes公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线上的曲线积分联系起来,右手法则,是有向曲面 的正向边界曲线,证明,如图,思路,曲面积分,1,二重积分,2,曲线积分,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,便于记忆形式,另一种形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
2、,二、简单的应用,解,按斯托克斯公式,有,例2 计算,从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向,解一,用 Stokes 公式,x,y,z,o,消去 x 得,（椭圆面积）,（圆面积）,解二,化为参变量的定积分计算,解三,投影方法,投影到 xoy 面得投影曲线,（逆时针方向）,记 C 所围区域为 D,Green公式,三、空间曲线积分与路径无关的条件,前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公式可推得空间曲线积分与路径无关的条件,空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域,应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到,四、物理意义-环流量与旋度,1.环流量的定义:,利用stokes公式,有,2.旋度的定义:,斯托克斯公式的又一种形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释:,解,由力学知道点 的线速度为,观察旋度,由此可看出速度场的旋度与旋转角速度的关系.,五、向量微分算子,-Hamilton 算子,-Laplace算子,若 P，Q,R 具有连续的二阶偏导数，即得,-即旋度场是无源场,-即梯度场是无旋场,六、小结,斯托克斯公式,斯托克斯公式成立的条件,斯托克斯公式的物理意义,练 习 题,练习题答案,
