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1、主要内容（2学时）,一、离散型随机变量的分布律；三、常见的离散型随机变量。1、0-1分布。2、二项分布（重点）。3、泊松分布。,第二节 离散型随机变量及其分布律,一、离散型随机变量的分布律（重点）,说明：,例1、掷骰子两次。求以下随机变量的分布律：(1)点数之和X；(2)两次投掷的最大点数Y,列举法：,列举法,公式法,例2（类似P27-例1）一汽车需通过四组红绿灯的路口，每组红绿灯允许或禁止通过的概率为0.5，各信号灯相互独立。以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的分布律。,解:依题意，X所有可能取值为0,1,2,3，4.,P(X=0)=P(A1)=1/2,设Ai=汽车在第i个路口
2、遇红灯,i=1,2,3,4。各 Ai间相互独立。,分布律（列举法）为：,分布律（公式法）为：,几何分布（某个事件首次出现时已试验次数）,二、常见的离散型随机变量,1、0-1分布（伯努里分布）,随机变量X取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为：,列表法：,公式法：,举例：,（1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。,（2）工厂随机抽取一产品是否合格。,（3）掷骰子一次是否出现6点。,2、二项分布（重点）,（1）n重伯努里试验：,举例：,a.重复(试验)：指每次试验中P(A)=p保持不变；,说明：,(1)重复抛硬币10次，事件A代表正面，10重伯努里试验。,(2)a只白球，b只黑球，放回抽样n次
3、，A代表白球，n重伯努里试验,（2）二项分布及其分布律：,X的所有可能取值：0，1，2，n,求分布律：,二项分布描述的是n重伯努里试验中事件A发生次数X的分布律.,符合概率的充要条件,说明：,（3）二项分布的图形特点：Xb(n,p),a.对于固定n及p，随着k的增加,概率P(X=k)先是随之增加，并在(n+1)p或者(n+1)p 达到最大值，随后单调减少。,说明:,b.如果p0.5，图形高峰右偏；如果p0.5，图形高峰左偏。,例3(P30，例2)设射手每次击中目标的概率p=0.75,且各次射击相互独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布律；（2）求恰击中3次的概率；（3）
4、求至少击中2次的概率。,例4 100个产品中有5个次品。现从中有放回取3次，每次任取1个，求所取3个中恰有2个次品的概率.不放回时概率多少？,解:有放回抽取，试验结果只有次品(记为A)、正品，3重伯努里试验,根据题意，P(A)=0.05.,设X为所取的3次中的次品数，显然X服从二项分布。,显然,X b(3,0.05),不放回时，各试验条件不同，不是伯努里试验。只能用古典概型,注意：放回、不放回时，结果不同，方法也不同。,例5(P31,例4)经验表明人们患了某种疾病,有30%的人会不经治疗自动痊愈.医药公司推出一种新药,随机抽取10个患难与共此种病的病人服用新药,知道其中有9人很快痊愈.设各人自
5、行痊愈与否相互独立.试推断这些病人是自行痊愈的,还是新药的作用.,解:如果新药无效,则任一病人自动痊愈的概率为p=0.3,则 X b(10,0.3),实际推断原理:概率很小的事件,在一次试验中几乎不会发生.,设X表示10名病人中自动痊愈的人数,因此新药有疗效.,例6 某人每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。,解:400重独立重复试验。设X表示400次射击中的击中次数,显然,X b(400,0.02),启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生,3、泊松分布（简介）,说明：,(2)泊松分布主要用来描述大量试验中稀有事件出现次数的概率。,例：a.某一天
6、医院看急诊的人数；b.某市一天发生的交通事故数；,c.某本书中的印刷错误数；d.某一天商场销售某种商品数,当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法,4、二项分布的泊松近似(泊松定理),即当n 很大且p 很小时，可用泊松分布近似计算二项分布.,例7(P33，例6)其一地区,一个人患某种病的概率为0.01,设各人患病与否相互独立.现随机抽取200人,求其中至少4人患这种病的概率.,=1-0.8571=0.1429(查泊松分布表:P247),本节重点总结,一、离散型随机变量分布律的求法。二、二项分布的计算。,解:依据分布律的充要条件,要成为分布律：a0,备选2 某元件一级品率为0.2
7、，现从一大批中随机抽查20只，问20只元件中恰有k只(k=0,1,20)一级品的概率。,解:虽为不放回抽样，但因从一大批中抽取少量，近似放回抽样,设X为20只元件中的一级品数。,显然,X b(20,0.2),K=0,1,2,20的计算结果见P44表格及图形.,注意：np+p=4.2=4，因此20件中一级品数最可能为4件。,P(3=X=5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.598,备选3 甲乙两棋手进行10局比赛，多赢者获胜。每局比赛中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。各局比赛结果相互独立。求甲胜、乙胜、不分胜负、乙不输的概率各为多少？,解:以X表示10局比赛中甲胜的局数。,
8、显然,X b(10,0.6),备选4 80台设备独立工作，每台出故障概率均为0.01，且一台故障只能一人处理。两种维护方法：(1)4人维护，每人20台；(2)3人共同维护80台，比较两种方法出故障不能及时修理的概率。,解:(1)记X为个人维护20台设备发生故障数,X b(20,0.01),(可按加法公式计算）,(2)记Y为3个人共同维护的80台设备中发生故障设备数。,显然，Y b(80,0.01),结论：3个人共同维护80台设备，比4个人每人维护20台效率更高,备选5 有10000人投保某人寿保险，年初每投保人需交200元保费。如果一年中投保人死亡，则受益人可获10万元赔偿费。这类人年死亡率0
9、.001。试求：(1)保险公司该项业务亏损的概率；(2)该项业务至少获利50万元的概率。,解：设X为10000人中一年中死亡人数，显然X b(10000,0.001),保险公司该项业务保费年收入10000*200=200万元.,该业务净收益：(20010X)万元,备选6 各设备工作相互独立，发生故障的概率都是0.01。一台设备的故障由一人处理。求:(1)3名维修工负责90台设备，求出现故障不能及时修理的概率；(2)现有300台设备，至少应配多少维修工，才保证出现故障时不能及时维修的概率小于0.01?,解：(1)设X为90设备中同时发生故障的台数，X b(90,0.01),设配备N个维修工，所求
10、的是满足P(XN)0.01的最小的N.,n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似,查泊松分布表，最小N=8。至少配8名维修工。,补充:几何分布,特点：,(1)某产品不合格率0.1，则首次查到不合格品的检查次数XGe(0.1).,即前m次试验中A没有出现条件下，则在接下来n次试验中A仍未出现的概率只与n有关，而以前的m次试验无关.,分布律：,举例：,(2)某射手命中率为0.6，则首次击中目标的射击次数YGe(0.6).,(3)同时掷两骰子，则点数之和首次为8点的投掷数ZGe(5/36).,例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击次数X 的分布律.,解:A=射中。显然，X Ge(p),P(X=1)=P(A1)=p,或者,设Ak=第k次射击命中，k=1,2,，,补充：巴斯卡分布,分布律：,举例：,X的可能取值为r,r+1,r+2,。,(2)同时掷两骰子，点数之和第10次出现8点的投掷数ZNb(10,5/36).,(1)某射手命中率为0.6，则击中目标3次时的射击次数YNb(3,0.6).,补充：超几何分布,分布律：,举例：,X的可能取值为0，1,2,，min(n,M)。,袋中白球5个，黑球10个，任取3个，其中白球个数为X h(3,15,5),
