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1、重庆大学本科学生毕业设计（论文）轴装串联少齿差行星传动装置设计与动力学仿真学 生：夏曲根学 号：20072400指导教师：周 伟 专 业：机械设计制造及其自动化重庆大学机械工程学院二O一一年六月Graduation Design(Thesis) of Chongqing UniversityDesign and Dynamics Simulation of Shaft-set Series Few Teeth Difference Planetary Undergraduate: Xia QugenSupervisor: Lecturer Zhou Wei Major:Mechanical D
2、esign and Manufacture and AutomationCollege of Mechanical Engineering Chongqing UniversityJune 2011重庆大学本科学生毕业设计（论文） 摘要摘 要随着近代工业技术的高度发展，机械化和自动化水平的不断提高，各工业部门需要大量减速器，并要求减速器的体积小、重量轻、传动比大、效率高、承载能力大、运转可靠以及寿命长等。为满足高技术和高经济指标，少齿差行星齿轮传动近30年来得到了较大的发展。轴装串联少齿差行星传动使用多级K-H-V型少齿差行星传动串联集成，体积小，重量轻，安装容易，可以进行多级差速传动，容易形
3、成系列化和标准化。本文分析了轴装串联少齿差行星传动以不同构件作为输入输出时机构的传动比，进行整体参数设计和强度校核。建立三维模型，用ANSYS进行静力学分析，用 ADAMS进行动力学仿真。本论文的主要研究内容如下： 分析轴装串联少齿差行星传动在单输入单输出、单输入多输出、多输入单输出、多输入多输出、单级直接输出时的传动比和速比关系。 研究少齿差内齿轮副的参数限制条件，计算确定两级内齿轮副的变位系数和几何参数，对整个装置进行结构设计和效率分析。 运用Unigraphics建立装置的三维模型，利用有限元软件ANSYS进行静力学分析。 运用ADAMS仿真软件进行装置的动力学仿真，输出仿真结果曲线。关
4、键词：少齿差行星传动，结构分析，静力学分析，动力学仿真重庆大学本科学生毕业设计（论文） ABSTRACTABSTRACTWith the high development of modern industrial technology,and the improvement of the level of mechanization and automation,the industrial sector requires a lot of gear. And require small size reducer, light weight, gear ratio, high efficien
5、cy, carrying capacity, reliable operation and long life. To meet the high-tech and high-economic indicators the involute planetary gear with small teeth difference transmission has high development nearly 30 years.The device is tandem integration by multilevel K-H-V teeth difference planetary transm
6、ission,it has minishes cubage and light weight ,and easy to installation and can be used to actualize multilevel differentia speed transmission,it easy to form serialization and standardization.This paper analysis the transmission ratio of series shaft-mounted with few teeth difference planetary sys
7、tem when different components as the input and output,and design the overall parameters and check the strength. Combining with three-dimensional model established and use ANSYS to analysis the static,use ADAMS to dynamic simulation. The main researches are as following:Analysis the transmission rati
8、oes and speed ratioes of single input and single output,multiple input and single output,single input and multiple output,multiple input and multi output ,single output. Analysis the parameters constraints of gear with small teeth difference. Calculate the two lenel of the gear modification coeffici
9、ent and geometric parameters.Make the structural design and efficiency analysis of the device. Build the three-dimensional model by Unigraphics,use ANSYS for static analysis. Build the three-dimensional model by Unigraphics,use ADAMS to dynamic simulation,output curve of simulation results.Keywords:
10、 planetary drive with small teeth difference, structural analysis, static analysis,dynamic simulation重庆大学本科学生毕业设计（论文） 目录目 录摘要ABSTRACT 1绪论1 1.1 课题研究背景1 1.2 论文相关内容的研究现状2 1.2.1齿轮接触有限元的研究现状 21.2.2虚拟样机技术的研究现状 3 1.3 论文研究的目的及意义 . 3 1.4 论文的研究内容42轴装串联少齿差行星传动的传动比计算5 2.1 轴装串联少齿差行星装置的结构特点.5 2.2轴装串联少齿差行星传动的传动比计算
11、6 2.2.1 单输入单输出传动 6 2.2.2 单输入多输出传动 7 2.2.3 多输入单输出传动 9 2.2.4 多输入多输出传动 11 2.2.5 构件18直接输出11 2.3 本章小结 113 轴装串联少齿差行星传动装置的参数设计 12 3.1 齿轮副的干涉限制12 3.2 少齿差变位系数选择及几何尺寸计算15 3.2.1 变位系数的选择 15 3.2.2 几何尺寸计算 17 3.3 少齿差行星传动的强度计算 19 3.4 转臂轴承的选择 21 3.5 传动效率计算 22 3.6 本章小结 234 第二级少齿差行星传动的静力学分析 24 4.1 建立几何模型24 4.2 第二级行星传动
12、的静力分析24 4.4 本章小结275 轴装串联少齿差行星传动的动力学仿真 28 5.1 三维模型的建立 28 5.2 添加约束与施加载荷 28 5.3 仿真结果分析 29 5.3.1 动力特性分析结果29 5.3.2 运动特性分析结果30 5.4 本章小结 326 结论33致谢34参考文献 35IV重庆大学本科学生毕业设计（论文） 1 绪论1 绪论1.1课题研究背景现代工业的发展要求机械装置结构小，重量轻，精度高，效率高和经济性能好。特别是现代工厂广泛运用机器人进行加工，对这些要求都极高。而近几年才发展起来的少齿差行星齿轮能够很好的满足以上要求，并且大量应用于工业各领域，它具有以下优点： 加
13、工方便、制造成本低，采用普通的齿轮刀具和齿轮机床就可以加工，不需要特殊的刀具与专用设备，材料也可采用普通齿轮材料。 传动比范围大，单级传动比为101000以上。 由于其输入轴和输出轴安装在同一轴线上，使用较为方便。 结构紧凑、体积小、重量轻。采用内啮合行星传动这种结构紧凑的传动模式；和同类型的齿轮相比，体积和重量可以减少1/32/3。 效率高，当传动比为10200时，效率为82%95%。噪音小、运转平稳、承载能力大。因为内啮合传动的两个齿轮的曲率中心在同一个方向上，并且曲率半径接近，所以接触面积大，极大地提高了齿轮的接触强度。另外，少齿差传动是39对轮齿同时处于啮合中，其传递力矩比普通圆柱齿轮
14、减速器大1。由于少齿差内啮合传动的两齿轮齿数差很小，非常容易产生各种干涉，齿轮几何参数非常难选择。在1949年，前苏联在理论上解决了一齿差传动几何参数的计算问题。但是直到二十世纪60年代以后，少齿差传动才得到迅速的发展 2。二十世纪70年代中期，日本已开始生产圆弧少齿差行星减速器。1956年我国朱景梓教授研究出一种新型少齿差传动机构，这种 “双曲柄输入少齿差传动机构”得到国内外同行高度评价。1963年朱景梓教授又发表了齿数差为1的渐开线K-H-V型行星齿轮减速器及其设计3，详细分析了少齿差行星传动的结构特点。这为我国的少齿差行星齿轮传动的发展起到了重要的指导作用。随着国内外少齿差行星齿轮传动研
15、究的不断深入，现在已成功开发出许多新型少齿差行星齿轮传动。国内外对齿形分析、接触分析、结构强度、动态性能、传动效率、运动精度等方面进行了大量的研究计算，并且利用计算机对减速器各主要部件进行三维建模、仿真、干涉检查等，缩短了产品的开发周期。朱才朝和秦大同对N型行星齿轮传动进行了基本结构分析，建立力学模型，得到的结论是环式减速器的惯性力或惯性力矩不平衡4。陈兵奎，洪沙等对平行轴少齿差传动轮齿的接触问题进行了动平衡研究，并且计算了平行轴少齿差传动内齿轮副啮合过程中实际互相接触的轮齿对数、齿间载荷的分配及齿面载荷分布5。范元勋和王华坤采用遗传算法模拟生物的自然进化过程来对少齿差传动的参数进行优化。通过
16、优化能获得良好的传动性能6。1.2 论文相关内容的研究现状1.2.1 齿轮接触有限元的研究现状齿轮接触的有限元分析在20世纪70年代就已经开始，但是仅仅局限于计算挠曲变形。只是采用赫兹公式来进行近似计算，不够精确。齿轮接触有限元分析在20世纪90年代才算真正开始。以前的计算都是根据试验来计算，计算简单、结果不准确；没有分析计算误差，没有考虑齿轮变形的影响，没有考虑摩擦力的影响等等。接触非线性的计算有许多方法，其中罚函数法由于使用方便和经济效益高而得到大量使用。以前对于齿轮类接触，使用点对点的接触单元，模型的构造很麻烦，很难保证计算结果的精度。随着有限元法的发展，新的接触单元法可以产生足够精确的
17、网格。用有限元对齿轮接触进行仿真分析，对整体精度和经济效益影响极大7。齿轮接触有许多研究方向，比如摩擦力对接触应力的影响，轮齿变形对接触变形的影响，有限元网格的疏密对分析精度的影响，加工误差和装配误差对接触的影响，温度对接触应力的影响等。目前国内外有很多利用有限元对齿轮接触问题的研究，其研究工作包括了上面的一些问题。杨生华研究了影响接触应力的罚因子，研究结果表明罚因子的大小会影响计算效率和计算精度，罚因子越大计算误差越小，但如果罚因子太大，计算速度会降低8。由美雁利用ANSYS有限元软件分析不同接触刚度比例因子对不同的接触应力的影响9。同时在有限元分析中网格的划分对于接触应力求解结果也有着相当
18、大的影响，高创宽采用基于圣维南原理的局部优化网格化方法，建立了更为合理的有限元计算模型网格10。因为齿轮的应力计算的规模比较大，使用一般的计算机很难做到全面分析又高精度的要求。但是基于圣维南原理11的局部网格化理论能够很好的解决这个问题。王立华通过对高速重载下的齿轮滚子疲劳试验的结果得出齿面摩擦力对接触应力是否有影响与齿轮的转速、材质、齿数、模数以及润滑等因素有关。而这些因素可用一个无量纲参数S来表示。S存在两个临界点A和B。当SA时，齿面摩擦力可使齿面接触应力增大10%左右；当SB时，摩擦力影响较小，可忽略不计；当ASB时，其影响幅度随S的递增急剧减少，并在S=B附近达到最低。王立华还对高速
19、重载齿轮进行分析，不仅对齿轮有限元接触分析的一些基本因素进行了考虑，还考虑了高速工况下的离心力作用，这种分析更加贴近实际工作情况12。由于齿轮齿间摩擦力会使齿轮接触齿面瞬时温度升高，高温所产生的热变形会非常严重地影响齿轮的承载能力和工作能力，并产生很大的振动、噪声。王晓笋，巫世晶提出了用有限元半解析法来分析直齿轮三维边界非线性温度场的计算过程，并且对换热边界条件的处理进行了适当的研究13。国外有人对齿面接触应力与温度的关系进行了研究，建立了热弹接触有限元模型，计算不同接触区域产生的接触应力和温度的关系，准确地了解了齿轮的工作状况14。1.2.2 虚拟样机技术的研究现状虚拟样机技术是在20世纪9
20、0年代中后期发展起来的一种实用的现代设计方法，是CAX、DFX、建模、仿真等技术相互结合的产物。它的基本思想是，首先在计算机上建立二维或三维模型，对模型进行各种性能分析，然后根据分析结果改进样机的设计方案，用数字化来替代传统的物理样机。虚拟样机技术的引入，可以极大简化工业产品的设计开发，缩短产品开发周期，还能够减少产品开发费用、成本和风险，明显提高产品的质量和性能15。在美国、德国等发达国家许多企业广泛使用虚拟样机技术。Caterpillar公司使用虚拟样机技术，革命性的改进了设计和试验步骤，能够实现快速虚拟试验和多种设计方案的确定，降低产品设计成本的同时性能却更加优越。John Deere公
21、司利用虚拟样机技术对工程机械在高速行驶时的蛇行现象以及在重载下的自激振动问题进行了研究并且提出了改进方案。世界上最大的工程机械制造企业卡特彼勒公司采用虚拟样机技术，对装载机和挖掘机等的工作装置进行运动和受力分析。还有如波音、福特等世界性的大公司都不同程度的将虚拟样机技术引入到产品开发中，而且获得了非常好的经济效益。我国虚拟样机技术最早是应用在军事、航空领域，比如飞行器动力学设计、武器的制造、导弹动力学的分析等。随着有限元技术的发展，虚拟样机技术在机械工程、航空航天、汽车制造、军事国防等领域得到了广泛的应用，对很多具体的机械产品的设计制造产生了巨大的影响。例如月球表面探测机器人的研究，就是运用虚
22、拟样机技术对其中的关键技术进行深入研究，并且取得巨大的进步。在高校的研究实验室中，浙江大学进行了分布式虚拟现实技术、虚拟产品装配以及VR工作台等研究；清华大学研究了虚拟环境、虚拟机床、虚拟现实以及虚拟汽车训练等；西安交通大学和北京航空航天大学进行了远程智能协同设计的研究16。 1.3 论文研究的目的及意义轴装串联少齿差行星传动是基于K-H-V渐开线少齿差传动的系统，其结构特点是：其输出机构为孔销式输出机构，每一级只采用一个行星轮，可不考虑销孔位置与齿数间的关系。第一级内齿轮安装在第一级输出机构外圆轴承上，机构即是第一级的输出机构又是第二级的输入机构，第二级内齿轮安装在第二级输出机构外圆轴承以及
23、第一级内齿轮的外圆轴承上，输入和输出机构设计为中空以减小力矩损失17。该装置由多级K-H-V型少齿差行星传动串联集成，体积小重量轻，能实现多级差速传动，容易安装和易于系列化和标准化设计。所以对该行星传动进行结构设计、运动分析、静力学分析、动力学分析与建立虚拟样机，对实现产品化具有非常重要的意义。1.4 论文的研究内容本文的研究目的主要是分析其结构特点和运动学特性，并对其进行结构设计，静力学分析，动力学分析，使产品的设计符合现代工业的要求。本文的研究内容如下： 分析轴装串联少齿差行星传动在单输入单输出、单输入多输出、多输入单输出、多输入多输出、单级直接输出时的传动比和速比关系。 研究少齿差内齿轮
24、副的参数限制条件，计算确定两级内齿轮副的变位系数和几何参数，对整个装置进行结构设计和效率分析。 运用Unigraphics建立装置的三维模型，利用有限元软件ANSYS进行静力学分析。 运用Unigraphics建立装置的三维模型，用ADAMS仿真软件进行动力学仿真计算，输出仿真结果曲线。4重庆大学本科学生毕业设计（论文） 2 轴装串联少齿差行星传动的传动比计算2 轴装串联少齿差行星传动的传动比计算2.1 轴装串联少齿差行星装置的结构特点其输出机构为孔销式输出机构，每一级只采用一个行星轮，可不考虑销孔位置与齿数间的关系。第一级内齿轮8安装在第一级输出机构18外圆轴承上，机构18即是第一级的输出机
25、构又是第二级的输入机构，第二级内齿轮11安装在第二级输出机构16外圆轴承以及第一级内齿轮8的外圆轴承上，输入和输出机构设计为中空以减小力矩损失。其中偏心轴2作为固定输入件，构件16不作为输入件。图2.1是该装置的结构示意图。图2.1 轴装串联少齿差行星装置的结构示意图图中，1,3,9,10,12,17为深沟球轴承，2为偏心轴输入机构，4，15为圆柱滚子轴承，5为端盖，6，14为销轴，7为第一级外齿轮，8第一级内齿轮，11为第二级内齿轮，13为第二级外齿轮，16为第二级输出机构，18为第一级输出机构，19为轴套。轴装串联少齿差行星传动装置具有许多优点：加工方便、制造成本低；传动比范围大；以不同构
26、件作为输入输出构件，可以实现汇流传动和分流传动；结构紧凑、体积小、重量轻；传动效率高；运转平稳、噪音小、承载能力大。由于是内啮合传动，两齿轮的曲率中心在同一方向，曲率半径又接近相等，因此接触面积大，使齿轮的接触强度大为提高；又因采用短齿制，轮齿的弯曲强度也提高了。此外，少齿差传动不是一对轮齿啮合，而是39对轮齿同时接触啮合，所以运转平稳、噪音小 19。2.2 轴装串联少齿差行星传动的传动比计算图2.2 轴装串联少齿差行星传动装置的传动原理图。 设齿轮、的齿数各为、，转速各为、偏心轴的转速为，系杠、的转速分别为、，其中=、=20。2.2.1 单输入单输出传动系杆2作为输入构件，第一级内齿轮8固定
27、不动，机构18则为第一级输出第二级输入件，因此机构以两种方式输出： 第二级内齿轮11固定不动，机构16为输出构件。把第一级转化为定轴传动，所以： （2.1）由于内齿轮固定不动，所以： （2.2）同理，第二级啮合齿轮传动比为： （2.3）总传动比为： （2.4） 所以输出构件14的转速为： （2.5） 机构16固定不动，第二级内齿轮11作为输出构件。先计算第二级啮合齿轮的传动比： （2.6）而第一级传动比为可由式(2.2)获得，所以总传动比为： （2.7）内齿轮11的输出转速为： （2.8）2.2.2 单输入多输出传动系杆2作为输入构件，选择第一级内齿轮8，第二级内齿轮11，构件16中的任何一个
28、构件固定不动或者三者均不固定，则不固定的构件作为输出构件，这样就有2自由度输出的差速传动和3自由度输出的差速传动。 系杆2输入，第二级内齿轮11固定，第一级内齿轮8和机构16作为输出构件，构成2自由度的差速传动。由式(2.1)可知由于内齿轮6固定不动，所以构件18的输出转速为： （2.9）若构件18固定，第一级内齿轮8的输出转速为 （2.10）将(2.9)(2.10)式相除，得 （2.11）由于所以 （2.12） （2.13）所以输出机构16的转速为 （2.14） 第一级内齿轮8固定，构件16和第二级内齿轮11作为输出构件，组成2自由度的差速传动根据中的步骤可以计算构件16和第二级内齿轮11的
29、输出转速为： （2.15） （2.16） 系杆2输入，构件16固定不动，第一级内齿轮8和第二级内齿轮11作为输出构件，组成2自由度的差速传动同理可计算得构件第一级，第二级内齿轮的转速： （2.17） （2.18） 系杆2输入，第一级内齿轮8，第二级内齿轮11和机构16中三构件均不固定，组成3自由度的差速传动同理可计算得输出转速： （2.19） （2.20） （2.21）2.2.3 多输入单输出传动 系杆2，第一级内齿轮8作为输入构件，其中构件18为第一级输出，构成第一级的差速传动结构；第二级K-H-V传动有两种选择：一是第二级内齿轮11固定不动，机构16作为该装置的输出构件，二是机构16固定不
30、动，第二级内齿轮11作为该装置的输出机构，构成第二级的K-H-V传动机构。第一级为差速传动所以（2.22）1） 第二级内齿轮11固定不动，机构16作为输出构件，由于所以构件16的转速为： （2.23）2） 构件16固定不动，第二级内齿轮11作为输出构件，由于所以第二级内齿轮的输出转速为： （2.24） 系杆2作为输入构件，第一级内齿轮8固定不动，机构18作为第一级输出，构成第一级K-H-V传动；构件18和第二级内齿轮11作为第二级的输入机构，机构16作为输出构件，构成第二级差速传动。第一级K-H-V传动传动比为:第二级差速传动的传动比为：所以 （2.25） 系杆2，第一级内齿轮8，第二级内齿轮
31、11均作为输入件，机构16作为输出构件，构成3自由度的差速传动。第一级差速传动中构件18的转速为：第二级差速传动中构件16的转速为：所以三自由度的差速传动的输出构件16的转速为： （2.26）2.2.4 多输入多输出传动两级啮合齿轮均做差速传动，第一级的输出构件18的转速为：第二级内齿轮11的输出转速为： （2.27）第二级构件16的输出转速为： （2.28）2.2.5 构件18直接输出当内齿轮8固定时，由（2.2）可知机构18的输出转速为：当内齿轮8不固定时，为差速传动，由（2.22）可知机构18的输出转速为：2.3 本章小结 本章主要分析了轴装串联少齿差传动装置的结构特点，给出了结构图；运
32、用相对速度法将行星轮系转化为定轴轮系进行传动比计算，并且分析了不同构件作为输入输出件时装置的传动比和输出转速。11重庆大学本科学生毕业设计（论文） 3 轴装串联少齿差行星传动装置的参数设计3 轴装串联少齿差行星传动装置的参数设计3.1 齿轮副的干涉限制由于少齿差内啮合传动的内齿轮和外齿轮的齿数差较少，在加工和装配时经常有各种干涉产生。因此为了保证正确啮合以及啮合传动的强度，需要限制一些参数。在设计少齿差内齿轮副时，应考虑下列事项21： 由于基圆内没有渐开线，所以内齿轮的齿顶圆不应小于基圆，即 （3.1）式中：内齿轮齿顶圆直径；内齿轮基圆直径 外齿轮的齿顶不能变尖，需有足够的厚度，因为齿顶变薄将
33、影响轮齿的强度。一般取 （3.2）其中 （3.3）式中：外齿轮变位系数； 外齿轮齿数； 模数；压力角；外齿轮的齿顶圆压力角；另外对于氮化、渗碳处理的齿轮以及硬度HB350的齿轮，取；对于高频淬火以及硬度HB350的齿轮，取。 内齿轮的齿顶不能变尖，需有足够的厚度，一般取 （3.4）其中 （3.5）式中：内齿轮变位系数； 内齿轮齿数；内齿轮的齿顶圆压力角另外对于渗碳、氮化处理的齿轮以及硬度HB350的齿轮，取；对于高频淬火以及硬度HB350的齿轮，取。当、齿顶高系数时，式（3-4）总是在0.4m以上，可以不验算内齿轮的齿顶厚系数。 不发生过渡曲线干涉1） 外齿轮的过渡曲线干涉在加工齿轮时由于不能
34、在齿轮的轮齿全部高度上切出渐开线齿形，只是从齿顶到齿根上的某一点之间为渐开线，渐开线和过渡曲线的交点是插齿刀和被切齿轮的极限啮合点，其曲率半径为。内齿轮的齿顶和外齿轮相啮合的极限啮合点处曲率半径为。两轮相啮合时，如要求不发生外齿轮的过渡曲线干涉，应满足下式： （3.6）根据分析可知，插齿刀的变位系数越大或者内齿轮的齿顶圆半径越小，则发生外齿轮过渡曲线干涉的可能性越大；增加插齿刀齿数或者增加内齿轮的齿顶圆直径，可以减小干涉的可能性。2） 内齿轮的过渡曲线干涉用插齿刀加工内齿轮时，不能在齿轮轮齿的全部高度上切制出渐开线齿形。插齿刀和被切齿轮的极限啮合点的曲率半径为。内齿轮和外齿轮相啮合的极限啮合点
35、处半径为。两轮相啮合时，要不发生内齿轮的过渡曲线干涉，应该使 （3.7）由于插齿刀顶刃无圆角，其齿顶高比齿轮的齿顶高大，因此一般都可以满足（3.7）式，不会发生这种干涉。 不发生渐开线干涉内啮合传动和外啮合传动一样，会发生渐开线干涉。相应的在切制齿轮时，会产生跟切合顶切。 不发生齿廓重迭干涉如果一对非变位内啮合齿轮齿数很少，按设计的中心距安装时，就会发生齿廓重迭干涉；并且在传动时，一对齿廓在啮合后，外齿轮的齿顶会再次和内齿轮的齿顶重迭，这种现象为齿廓重迭干涉。干涉会影响齿轮的正确啮合，并且不能安装，所以必须防止干涉发生。所以，即 （3.8）其中当齿数差小于4时，只采用小的齿顶高系数，或只增大啮
36、合角是不合理的。所以在实际工作中常适当的增大啮合角和减小齿顶高系数相结合的办法，这样既能避免齿廓重迭干涉，又能保证必要的重合度，而且轴承寿命和减速器效率不过分的降低。 不发生顶切现象要不发生顶切现象就必须使内齿轮的齿顶点到中心线的距离FH大于插齿刀的齿顶点到中心线的距离EI，即要求。 可以通过减少插齿刀齿数、减小插齿刀的变位系数、增大内齿轮的齿顶圆直径、改变内齿轮副的变位系数等方法来避免顶切现象。 内齿轮的齿顶圆必须大于插齿刀的齿顶圆 开始加工内齿轮时，必须使插齿刀能进入内齿轮的齿顶圆内，并且要留有让刀的运动量和间隙，所以要求让刀运动量。当满足不发生切入顶切的条件下，可不必考虑本要求。 在节点
37、对面不发生齿顶互相抵触干涉避免发生节点对面齿顶互相抵触干涉的条件为： （3.9）由于轴的变形，验算时需要考虑两齿顶间留有间隙： （3.10）即： （3.11）式中：齿顶高系数 重合度不小于1即： （3.12）式中：齿轮啮合角。3.2 少齿差变位系数选择及几何尺寸计算3.2.1 变位系数的选择上节干涉和参数的限制中指出，要使齿轮不发生齿廓重迭干涉，如果只是采用小的齿顶高系数或者只是增大啮合角的大小都是不可行的。在实际工程中采用适当增大啮合角和减少齿顶高系数相结合的办法来防止齿廓重迭干涉和保证一定的重合度。变位系数的选择直接影响到啮合角的大小，所以控制变位系数对避免齿廓重迭干涉和保证重合度非常重要。变位系数的确定方法有封闭图法、试凑法、查表法等，工程中最常用的是封闭图法，能够得到更准确的数据。 内啮合的啮合方程：渐开线啮合的参数、之间的关系，必须符合啮合方程。 （3.13）由上式可知，当齿数、和齿形角固定不变时，啮合角是和的函数。和可以分别用横坐标和纵坐标表示。上式为二元一次方程，表示所有的值在二维坐标中为一条倾斜角为450的直线。不同的啮合角就有不同的平行的直线。在同一条直线上的每一个点的、都满足于的同一个数值的啮合方程。 在图3.1中，通过原点o的直线只有一条，它表示=的标准齿轮传动。在这条直线上表示
