《2.1第二章参数估计.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.1第二章参数估计.ppt（35页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第二章 参数估计,参数估计问题,假设检验问题,点 估 计,区间估计,统计推断的基本问题,参数检验,非参数检验,什么是参数估计？,参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.,例如，X N(,2),若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.,参数估计的类型,点估计 估计未知参数的值,区间估计 估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.,2.1 点估计方法,点估计的思想方法,设总体X 的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数：1,2,k,设 X1,X2,
2、Xn为总体的一个样本,构造 k 个统计量：,随机变量,当测得样本值(x1,x2,xn)时,代入上述统计量，即可得到 k 个数：,数 值,如何构造统计量？,如何评价估计量的好坏？,常用的点估计方法,频率替换法,利用事件A 在 n 次试验中发生的频率,作为事件A 发生的概率 p 的估计量,方法,用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数,一般,不论总体服从什么分布,若总体期望 与方差 2 存在,则它们的矩估计量分别为,矩法,注意：不是!,事实上，按矩法原理，令,设待估计的参数为,设总体的 k 阶矩存在，记为,样本 X1,X2,Xn 的 r 阶矩为,令,含未
3、知参数 1,2,k 的方程组,解方程组,得 k 个统计量：,未知参数 1,k 的矩估计量,代入一组样本值得 k 个数:,未知参数 1,k 的矩估计值,例2 设总体 X N(,2),X1,X2,Xn为 总体的样本,求,2 的矩法估计量.,例3 设总体 X Exp(),X1,X2,Xn为总体的样本,求 的矩法估计量.,问题：的矩估计是否唯一？,结论：矩估计可能不存在（如Cauchy分布的参数的矩估计不存在），即使存在也有可能不唯一（如例3）。,例4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,1200 1250,1040,113
4、0,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,例5 设总体 X U(a,b),a,b 未知,求参数 a,b 的 矩法估计量.,极大似然估计法,思想：实际推断原理（一次试验就出 现的事件有较大的概率）,例如:有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:第一箱.,问:所取的球来自哪一箱的可能性大？,例6 设总体 X 服从0-1分布,且P(X=1)=p,用极大似然法求 p 的估计值.,解,总体 X 的概率分布为,设 x1,x2,xn为总体样本X1,
5、X2,Xn的样本值,则,对于不同的 p,L(p)不同,见下图,现经过一次试验，,在容许范围内选择 p，使L(p)最大,注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大,则这个p 必使L(p)最大。,称这样得到的,为参数 的极大似然估计值,称统计量,为参数 的极大似然估计量,极大似然法的思想,其中f(x,)为总体的密度函数或分布律。,若 X 为离散型随机变量,其分布律为,则样本 X1,X2,Xn的联合分布为,或,称 L()为样本的似然函数,若 X 连续,令 f(x,)为X 的密度函数,则似然函数为,注,未知参数可以不止一个,如1,k,设X 的密度(或分布)为,则定义似
6、然函数为,为似然方程组,若对于某组给定的样本值 x1,x2,xn，参数 使似然函数取得最大值,即,显然，,称统计量,为1,2,k 的极大似然估计量,例7 设总体 X N(,2),x1,x2,xn 是 X 的样本值,求,2 的极大似然估计.,解,2 的极大似然估计量分别为,总结：极大似然估计方法,1）写出似然函数,可得未知参数的极大似然估计值,L是 的可微函数,解似然方程组,若,注：似然方程组法可能不适用,此时需用其它方法求极大似然估计值.见下例：,例8 设 X U(a,b),x1,x2,xn 是 X 的一个样本值,求 a,b 的极大似然估计值与极大似然估计量.,似然函数为,似然函数只有当 a
7、xi b,i=1,2,n 时才能获得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大.,令,xmin=min x1,x2,xnxmax=max x1,x2,xn,取,都有,故,是 a,b 的极大似然估计值.,分别是 a,b 的极大似然估计量.,问 题,1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?,2)若存在,是否惟一?,设 X U(a,a+),x1,x2,xn 是 X的一个样本,求 a 的极大似然估计值.,解,由上例可知,当,时,L 取最大值 1,即,显然,a 的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.,例9,不仅如此,任何一个统计量,若满足,都可以作为 a 的估计量.,极大似然估计的不变性,设 是 的极大似然估计值,u(),()是 的任一函数,则 是 u()的极大似然估计值.,如 在正态总体N(,2)中,2的极大 似然估计值为,是 2的函数,故 的极大,lg 的极大似然估计值为,似然估计值为,
