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1、2.4 内积空间的标准正交基2.4.1 标准正交集 定义2.4.1（标准正交集）设X为一内积空间，M含于X，若M中的所有元素之间是两两正交的，就称M为一正交集；再若M中每个元素的范数都是 1，称M为标准正交集。,标准正交集的性质：（1）任何标准正交集都是线性无关的。（2）若（e1,e2,en）是标准正交序列，则每一个x Spane1,e2,en都可以唯一的表示为,(3)对于任何线性无关的序列（xi），可以应用格拉姆-施密特标准正交化方法得到一个标准正交序列（ei），使得对每一个n属于N都有Spane1,e2,en=Spanx1,x2,xn,2.4.2内积空间的标准正交系定义2.4.3（傅里叶级
2、数）设（en）是内积空间X中的一个标准正交系，任给 x X，则称级数,为矢量 x 关于正交系（en）的傅里叶级数，称为 x 关于en的傅里叶系数。,定理2.4.4 设en是X中的标准正交集，M是由en中 m 个矢量张成的线性子空间，即M=Spane1,e2,em，对任意的xX，级数,是 x 在M上的正交投影。,而且有：,定理2.4.5 若（en）是内积空间X（无穷维的）的标准正交系，x X，则有下列贝塞尔不等式成立：,定理2.4.6 若（en）是内积空间X的标准正交系，M=Span e1,e2,en，x X，对任意的 m 维数组（1,2,n）有,2.4.3 内积空间的标准正交基定义2.4.7（
3、内积空间的完全标准正交系或标准正交基）在内积空间 X 中的标准正交系（en）被称作是完全的，是指 X 中不存在与所有en正交的非零元素。,定理2.4.8 设（en）是希尔伯特空间X中的标准正交系，xX，则等式,成立的充要条件是：（en）是完全的。上式也称为帕塞法耳等式。,定理2.4.9 如果（en）是希尔伯特空间 X中的标准正交基，则任意的 x X 都可以表示为,定义（完备的）设（en）是内积空间X中的标准正交系，如果对于每一个xX，帕塞法耳等式,恒成立，则称（en）是完备的。,定理 设（en）是希尔伯特空间 X 中的一个规范（标准）正交系，则下列性质等价：（1）（en）是完备的；（2）（en）是完全的；（3）对于X中任一元素 x，级数,在 X 中收敛于 x；,（4）对 X 中任意两个元素 x，y 有,2.4.4 常用标准正交基举例1、勒让德多项式通项：,另外，拉普拉斯方程在求坐标系下分离变量,得到勒让德方程,为勒让德多项式的级数表示,注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:,勒让德多项式的图形可通过计算机绘图(如MATLAB)得到,当,时满足,3、拉盖尔多项式氢原子的定态薛定谔方程,分离变量，得到,
