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1、一、几个基本概念,随机事件 随机试验的各种可能的结果.简称“事件”.常用A、B、C表示.,必然事件在每次试验结果中,必然发生的事件.常用U表示.,不可能事件在每次试验结果中.一定不发生的事件.常用V表示.,复习,概率的统计定义 频率的稳定值.,样本点()随机试验可能发生的每一个基本结果。,样本空间（）全体样本点构 成的集合。,必然事件U,不可能事件V,基本事件的单元素子集，即每个样本点构 成的集合.,表示若事件A出现,事件B一定出现.,表示A与B中任意事件发生必然导致另一事件发生,二、事件间的关系,表示事件A与B至少有一个发生.,，记作,表示事件A与B都（或同时）发生.,，记作,表示事件A和B
2、不能同时发生,称A与B互不相容（或互斥）.,称这n个事件是互不相容的（或互斥的）。,若n个事件 中任意两个事件都不能同时发生,即,称事件A是B的对立事件或逆事件或事件B是A的对立事件或逆事件记作,（6）,且,（7）完备事件组,则称这n个事件构成完备事件组,则称这n个事件构成互不相容的完备事件组,(8)互不相容的完备事件组,表示事件A发生,而事件B不发生.,(10)德摩根(De Morgen)律：,排列 从n个不同元素中,每次取出(n)个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数记作,第1.4节 概率的古典定义,全排列 将 n个不同的元素按一定的顺序排成一列称为全排列,排列的种数记
3、作,一 排列与组合、加法、乘法原理复习,组合 从n个不同的元素中,每次取出(n)个不同的元素,不考虑元素的顺序组成一组叫作组合,其组合数为,组合的性质：,允许重复的排列 从 n个不同元素中,有放回地取出m个元素,按一定的顺序排成一列.其排列数为,加法原理,乘法原理,注意:,加法原理与乘法原理的区别是，前者完成一步即完成一件事，后者须步均完成才完成一件事.排列与组合的区别是，前者与次序有关，后者与次序无关.,有五本不同的数学书,八本不同的物理书,从中任取两本数学书,四本物理书.问有多少种不同的取法?,从八本物理书中任取四本,种数为,因此所求总数为1070=700.,解 从五本数学书中任取两本,种
4、数为,练习,设两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件,(1)两件都不是次品的选法有多少种?(2)只有一件次品的选法有多少种?,解(1)用乘法原理,结果为,(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:,练习,设为随机试验的样本空间，若 只含有限个基本事件（有限性）；每个基本事件出现的可能性相等（等概性）则称该试验为古典概型试验简称古典概型,二 古典概型,如：任意抛掷一枚骰子，观察出现的点数。,1.古典概型,2.概率的古典定义,设试验的样本空间总共有N个等可能的基本事件，其中有且仅有M个基本事件是包含于随机事件A的，则随机事件A的概率为,注意:,随机试验必须是古典概型；弄清楚样本空间
5、与随机事件中所含的基本事件数.,例1 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任取一个数字，求取得奇数数字的概率.,解 该试验为古典概型.,用A表示“取得奇数”这一事件，包含的基本事件数为M=5，则,样本空间包含的基本事件数为N=10,有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,样本空间:HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A含基本事件:HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,解 该试验为古典概型.设A表示“至少有一个男孩”,以H表示“某个孩子是男孩”,以T表示“某个孩子是女孩”,课堂练习,例2 袋内有
6、三个白球两个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率.,解 该试验为古典概型.,用事件A表示“取的两个球都是白球”，A包含的基本事件数为,样本空间包含的基本事件数为,事件A的概率为,例3 设在N个产品中有M个次品，从这批产品中任取n个产品，求其中恰有m个次品的概率.,解 该试验为古典概型.,用事件A表示“取出的n个产品中恰有m个次品”，A包含的基本事件数为,样本空间包含的基本事件数为,事件A的概率为,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题.这里选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景.,例4 袋内有a个白球和b个黑球，
7、每次从袋中任取一个球，接连取k次球（ka+b），(1)放回抽取;(2)取出的球不再放回.求第k次取得（或取出的是）白球的概率.,解 该试验为古典概型.用事件A表示第k次取得白球,（1）放回抽去的情况显然有,（2）样本空间包含的基本事件数为,事件A包含的基本事件数为,例5(分球入盒问题)将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A表示“每盒恰有一球”,B表示“空一盒”,则,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,例6(分组问题)30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一
8、名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率.,解 设 A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组,三 几何概型,设试验的基本事件有无穷多个，但是可用某种几何特征（如长度、面积、体积）来表示其总和，设为；并且其中一部分，即随机事件所包含的基本事件数也可用同样的几何特征来表示，设为.则随机事件的概率为,例7(会面问题)甲乙两名学生相约晚上7点到8点在九曲桥会面.先到者等候另一人20分钟，过时就离去，求两人能会面的概率.假定他们在晚上7点到8点这60分钟内的任一时刻到达九曲桥是等可能的.,解 设甲乙两人到达预定地点的时间分别为7点过x分钟和y分钟,则实数对（x，y）就是试验的一个结果.且,而两人会面的充要条件是:,样本空间,所求概率为,设事件A表示“甲乙两人能会面”,则,例8 甲乙两人相约在某一段时间内在预定地点会面.先到的人应等候另一人，经过时间（）后方可离开.求甲乙两人会面的概率，假定他们在时间内的任一时刻到达预定地点是等可能的（P13，看例5）.,作业,P33：习题 1.4 1.5 1.6 1.14,思考：1.10,1.11，1.12,
