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1、概率的概念古典概型几何概型概率的公理化定义,第二章 事件的概率,频率：设A为随机试验E的任一事件，相同的条件下重复n次，用nA表示事件A在n次试验中出现的次数，称比值fn(A)=nA/n为A在n次试验中出现的频率,2.1 概率的概念,一 概率,概率:随机试验中,事件A出现的可能性大小,记为P(A).例如:反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果：,2.1 概率的概念,一 概率,2.1 概率的概念,一 概率,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一
2、个近似.,非负性 0P(A)1规范性 P()=1有限可加性 若A1，A2，A3，An互斥，则 即有限个互不相容的事件的和事件的概率等于这些事件的概率之和,2.1 概率的概念,二 概率的性质,公理代定义可以直接推出的性质,1)证：令由概率的可加性（3.1）得而实数2)证：令由条件（iii）,3)证:因4)5)若,若随机实验E有如下特征：1.有限性：试验的可能结果只有有限个 样本空间1,2,n;2.等可能性:各个可能结果出现是等可能的 P(1)=P(2)=P(n).则称这种实验为古典概型,2.2 古典概型,一 古典概型,设有一个古典型试验,其样本空间为,1,2,n 而事件A是由中的k(kn)个(也
3、称为有利于A的样本点)不同的基本事件所组成,则A的概率为:,2.2 古典概型,二 古典概型概率的计算公式,2.2 古典概型,三 古典概型概率的性质,(1)非负性:对任意事件A,有 0P(A)1；(2)规范性:必然事件概率等于1,不可能事件的 概率等于0 P()1；P()=0(3)可加性:如果事件A与B互不相容,即AB，P(AB)P(A)P(B),非负性与规范性 对任意事件A,有0P(A)1；证:对任意事件A,以kA表示它所包含的基本事件数，n表示基本事件总数，则对于任意事件A，有 0kAn 或 0kA/n 1故 0P(A)=kA/n n/n=1即 0P(A)1特别地：P()=n/n=1，P()
4、=0/n=0,可加性 如果事件A与B互不相容,即AB，P(AB)P(A)P(B)证:设 A含k1个基本事件：1(1),2(1),k1(1)B含k2个基本事件：1(2),2(2),k2(2)即 A=1(1),2(1),k2(1)B=1(2),2(2),k2(2)由定义 P(A)=k1/n,P(B)=k2/n 又由于AB AB=1(1),2(1),k2(1),1(2),2(2),k2(2)AB 中含有k1+k2个基本事件 p(AB)=(k1+k2)/n=k1/n+k2/n=P(A)P(B),解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少
5、有一个男孩的概率是多少?,N()=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,(1)判断试验为古典试验,即基本事件总数为有限个,且各基本事件出现的可能性相同。(2)计算样本空间中样本点的个数n;(3)计算事件A 包含样本点的个数m;(4)由P(A)=m/n 计算事件A 的概率。,古典概型的概率计算步骤：,基本记数原理 设有m个试验，第1个试验有n种可能结果，对于第i(2i n)次试验，前i-1个试验的每一种可能结果，都使第i个试验有ni种可能的结果，则m个试验共有 n1n
6、2nm 种可能的结果排列与组合,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,则从甲城市到乙城市一共有：24=6 条线路,：2,：4,城市甲,城市乙,复习：排列与组合的基本概念,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,n1,n2,：2,：4,：3,城市甲,城市乙,乡村丙,2,3,从甲城市到丙乡村的线路一共有：(2+4+3)(2+3)条。,2.2
7、古典概型,四 古典概型的计算,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,共有nk种排列方式.,n,n,n,n,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,例1:在盒子中有3个白球，2个红球，现从中任抽2个球，求:(1)取到两个球都是白的概率；(2)取到一红一白的概率。解
8、:设 A=取到两个球都是白的 B=取到两球一白一红基本事件总数为 A的有利事件数为B的有利事件数为,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,例2：设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件，现按以下两种方式随机抽取2件产品.(a)有放回抽取；(b)无放回抽取.求(1)两件都是次品的概率；(2)第1件是次品，第2件是正品的概率.解：设 A=两件都是次品 B=第1件是次品，第2件是正品(a)样本点总数为 n=100100 有利于A的样本点数 kA=3030 p(A)=kA/n=0.09 有利于B的样本点数 kB=3070 p(B)=kB/n=0.21,2.2 古典概型,四 古
9、典概型的几类基本问题,1抽球问题,(b)样本点总数为 n=10099 有利于A的样本点数 kA=3029 p(A)=kA/n=0.088 有利于B的样本点数 kB=3070 p(A)=kB/n=0.21,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,注：在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例3：某城市电话号码升位后为六位数，且第
10、一位为6或8.求(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率;(2)随机抽取的电话号码末位数是8的概率.解:记 A=随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率 B=随机抽取的电话号码末位数是8的概率 样本点总数为 n=2105 有利于A的样本点数 kA=298765 p(A)=kA/n=0.1512 有利于B的样本点数 kB=21041 p(B)=kB/n=0.1,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,2随机取数,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,2随机取数,例4:从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概
11、率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N()=200,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,N(3)=200/24=8,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,例5:一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯充好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，并且她在10次试验中都能正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？解：样本空间为 n=210 A=10次试验中都能正确地辨别 P(A)=1/n=0.0009766,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,3品茶问题,例6:设某超市有奖销售，投放n张奖券只有1张有奖，每位顾客可抽1张，求第K位顾
12、客中奖的概率（1 k n）解：记A=第K位顾客中奖 到第K个顾客为止试验的样本点数为 n(n-1)(n-k+1)有利于A的样本点数为(n-1)(n-k+1)1,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,4抽奖问题,例 7（分球入盒）将 n 只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解：将 n 只球放入 N 个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,有趣的数学模型：假设每人的生日在一年的365天中的任一天的概率,是等可能的，即都等于1/365，那
13、么随机选取n(365)个人，他们的生日各不相同的概率为因而，n个人中至少有两个人生日相同的概率为P=1-经计算可得下述结果：在仅有50人的班级里，“至少两个人生日相同”这件事的概率与1相差无几,几何概型：试验的可能结果可以为无限个各个可能结果出现是等可能的几何概型的计算公式,2.3 几何概型,一 几何概型,例3.某公共汽车站从上午7时起，每隔15min来一趟车，一乘客在7：00到7：30之间随机到达该车站，求（1）该乘客等候不到5min乘上车的概率；（2）该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率.解：=7：00T 7:30,SA=7:10 T 7:15或7：25T 7:30，SB=7:00
14、T 7:05或7：15T 7:20.如将T的单位化为分钟，则有ll=30,lSl=30,因此 P(A)=P(B)=1/30.333,2.3 几何概型,一 几何概型,2.3 几何概型,一 几何概型,例4 桌面上划有一族等距的平行线，每相邻两条线之间的距离为d，今将一根长为l(d)的针随机地投向该桌面，求针与其中一条平行线相交的概率,解：设o表示针的中点,x表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针与直线OM的交角，有 0 xd/2,0/2可以确定，x,平面上的一个矩形=(x,)l 0 xd/2,0/2为了使针与平行线相交，其条件为由等可能性知,设E是随机试验,是样本空间,对E的每一个随机事件A,
15、定义一个实值函数P(A),若P(A)满足下列条件,公理1（非负性）0 P(A)1 公理2（规范性）P()=1 公理3（完全可加性）对任意一例两两互斥事件A1,A2,有 则称P(A)为事件A的概率,2.4 概率的公理化定义,一 定义,性质1 P()=0性质2 P()=1-P(A)证：因为 A=且 A=由定义中的规范性知 P(A)=P()=1 又由完全可加性知 P(A)=P()+P(A)=1 所以 P()=1-P(A),2.4 概率的公理化定义,二 性质,性质3 若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)且P(A)P(B)证：当AB时，有 B=A(B-A)且 A(B-A)=由完全可加性知 P(B)
16、=PA(B-A)=P(A)+P(B-A)即 P(B-A)=P(B)-P(A)又 P(B-A)0 于是 P(B)P(A),2.4 概率的公理化定义,二 性质,P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB),性质4 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)证：因 AB=A(B-AB)且 A(B-AB)=因而 P(AB)=P(A(B-AB)=P(A)+P(B-AB)又因为 ABB P(B-AB)=P(B)-P(AB)故 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)注：一般情况有下 P(AB)P(A)+P(B),2.4 概率的公理化定义,二 性质,例5 已知P(A)=0.9,P(B)=0.8,试证
17、P(AB)0.7证：由 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1=0.9+0.8-1=0.7,2.4 概率的公理化定义,例6（生日问题）设一年有365天，求下述事件A，B的概率：A=n个人中没有2个人生日相同 B=n个人至少有2人生日在同一天解：样本空间点数为 365n 有利于A的样本点数为 Pn365 p(A)=Pn365/365n B为 A 的补事件 B=P(B)=P()=1-P(A),2.4 概率的公理化定义,例7 在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率；（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率；（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设 A取到的数能被2整除;B-取到的数能被3整除,故,第二章 课后作业,习题二 2，4，6，8，9，10，11,
