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1、31,第 4 章 抽样和抽样分布,4.1 样本空间、事件及其概率 4.2 随机变量及其概率分布 4.3 抽样分布 4.4 正态分布和正态逼近,32,一二节学习目标,理解一些基本概念：抽样、（不）重置抽样、样本空间、样本数目理解离散型随机变量的概率分布及其性质理解连续型随机变量的概率分布、密度函数的定义性质理解期望方差的性质,33,4.1 样本空间、事件及概率,一、样本空间 二、随机事件的概率 三、概率的运算法则,34,一、样本空间,35,什么是样本点（基本结果）、样本空间有限空间、无限空间样本空间的相对性,36,必然现象与随机现象,必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然
2、导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）统计规律性,十五的夜晚能看见月亮？,十五的月亮比初十圆！,37,随机试验,随机试验对随机现象的观察试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。,38,随机事件（事件）,随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（）基本事件的全体（全集）,39,随机事件（续）,复合事件由某些
3、基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间 才是必然事件 不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（）,310,二、随机事件的概率,随机事件及其概率,311,随机事件的概率,概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P()=1不可能事件发生的可能性是零，P()=0随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。,312,概率的古典定义,古典概型（等可能概型）具有以下两特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有
4、限）每个试验结果出现的可能性相同它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象,313,概率的古典定义,概率的古典定义前提：古典概型定义（公式）,计算古典概率常用到排列组合知识,314,【例】,设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？解：任一件被抽到的机会均等，而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合，共有C502种可能，所以这是一个古典概型。,315,例,根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。,316,概率
5、的基本性质,非负性：对任意事件A，有 0 P(A)1。规范性：必然事件的概率为1，即：P()=1不可能事件的概率为0，即：P()=0。可加性：若A与B互斥，则：P(AB)=P(A)+P(B)对于多个两两互斥事件A1，A2，An，则有：P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。,317,(补充）关于概率的公理化定义,概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明主观概率的确定又具有主观随意
6、性苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义通过规定应具备的基本性质来定义概率公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。,318,三、概率的运算法则,1.加法公式 2.乘法公式 3.全概率公式和贝叶斯公式,319,1.加法公式,用于求P(AB)“A发生或B发生”的概率互斥事件（互不相容事件）不可能同时发生的事件没有公共样本点,P(AB)=P(A)+P(B),互斥事件的加法公式,P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An),320,【例】,设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，若问至少抽到一件次品的概率？解：“至少抽到一件次品”这一事件实质上就
7、是“抽取的2件产品中有一件次品”（记为A）与“抽取的两件产品均为次品”（记为B）这两个事件的和。由于A与B是两个互斥事件，故计算“至少抽到一件次品”的概率采用公式：P(AB)=P(A)+P(B),321,互补事件,互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件互补事件的概率之和等于1,A,A,例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6。,322,相容事件的加法公式,相容事件两个事件有可能同时发生没有公共样本点相容事件的加法公式（广义加法公式）,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),事件的积（交）AB,事件的和（并）,323,【例】,将分别写有0
8、至9这十个号码的小球装入一容器中，反复搅拌之后任意摇出一个小球，观察其号码。试求出现“奇数或大于等于4的数”的概率。解：所求事件 奇数(A)大于等于4的数(B)0,1,2,3,9，A1,3,5,7,9，B4,5,6,7,8,9由于等可能性，P(A)=5/10,P(B)=6/10。P(A)+P(B)1,显然P(AB)P(A)P(B)因为A和B存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在P(A)+P(B)中P(AB)被重复计算了。正确计算是：P(AB)5/106/103/108/100.8,324,2.乘法公式,用于计算两个事件同时发生的概率。也即“A发生且B发生”的概率 P(AB)先关注事
9、件是否相互独立,325,事件的独立性,两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B),独立事件的乘法公式：,P(AB)P(A)P(B),推广到n 个独立事件，有：,P(A1An)P(A1)P(A2)P(An),326,4.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布,327,一、随机变量的概念,328,一、随机变量的概念,随机变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果根据取值特点的不
10、同，可分为：离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举,329,二、随机变量的概率分布,1.离散型随机变量的概率分布 2.连续型随机变量的概率密度 3.分布函数,330,1.离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi0，i=1,2,n；（2）,331,离散型概率分布的表示：,概率函数：P(X=xi)=pi分布列：分布图,332,2.连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图 形概率密度曲线和分布函数
11、曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示,333,概率密度f(x)的性质,（1）f(x)0。概率密度是非负函数。（2）,所有区域上取值的概率总和为1。,随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：,334,3.分布函数,适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)PXx,连续型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数 F(x),分布函数与概率密度,335,三、随机变量的数字特征,1.随机变量的数学期望 2.随机变量的方差和标准差 3.两个随机变量的协方差和相关系数,33
12、6,1.随机变量的数学期望,又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量 X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X 的数学期望：,337,数学期望的主要数学性质,若k是一常数，则 E(k X)k E(X)对于任意两个随机变量X、Y，有 E(X+Y)E(X)E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则 E(XY)E(X)E(Y),338,2.随机变量的方差,方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：,339,方差和标准差（续）,标准差方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度
13、。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：1、若k是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X)2、若两个随机变量X、Y相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y)3、,340,【例】,试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：,0.6,341,4.3 抽样分布,一、重置抽样分布（放回）二、不重置抽样分布（不放回）,342,抽样方法,343,概率抽样(probability sampling),根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出
14、来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,344,简单随机抽样(simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率,345,分层抽样(stratified sampling),将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随
15、机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计,346,整群抽样(cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差,347,系统抽样(systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间
16、随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难,348,抽样分布的概念,349,样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 样本统计量是随机变量样本均值,样本比例，样本方差等,抽样分布(sampling distribution),350,抽样分布的形成过程(sampling distribution),351,样本均值的抽样分布（放回、重置）,352,样本均值的抽样分布,【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x
17、1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,353,样本均值的抽样分布,现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,354,样本均值的抽样分布,计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,355,样本均值的分布与总体分布,总体均值=2.5 2=1.25,总体分布,356,样本均值的抽样分布（不放回、不重置）,357,358,样本均值的抽样分布,现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42-4=12个样本。所有样本的结果为,359,样本均值的抽样分布,计算出各样本的均值，如下表。并给出样本
18、均值的抽样分布,x,360,样本均值的分布与总体分布,总体均值=2.5 2=1.25,总体分布,样本均值的均值=2.5 2=0.41667,361,成数的抽样分布,362,抽样成数的分布,重置：不重置：,363,例,已知某批零件有10000件，其中一级品率为80，分别用重置与不重置抽样方法计算样本一级品率的抽样平均误差。,364,正态分布和正态逼近,365,例,某农场的小麦产量服从正态分布，已知平均亩产为550公斤，标准差为50公斤，求亩产525-575公斤间所占的比例。思考：如果求亩产500-575公斤间所占的比例，如何做？,366,例,解放军战士身高是按正态分布的，经抽查平均身高175厘米
19、，标准差4厘米，现在军服厂要裁制100000套军服，问身高在171-179公分之间应裁多少套？身高在180-185之间呢？,367,中心极限定理,368,正态再生,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为，方差为2/n。即xN(,2/n),369,中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,370,中心极限定理(central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,
