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1、4.2 正弦信号的相量表示,4.2.1 复数及其运算 在数学中，一个复数A可以表示成代数型、指数型或极型，即 A=a1+ja2(代数型)=aej(指数型)=a(极型)(47),欧拉公式,式中 为复数单位；a1和a2分别为复数A的实部和虚部；a和分别是A的模和辐角。复数A也可以表示为复平面上的一个点或由原点指向该点的有向线段(矢量)，如图4.3所示。由图可知，复数代数型与指数型(或极型)之间的转换关系为,(48),和,(49),两个复数相等时，其实部和虚部分别相等，或模和辐角分别相等。两个复数相加(减)等于把它们的实部和虚部分别相加(减)。例如，若A=a1+ja2,B=b1+jb2,则 AB=(
2、a1+ja2)(b1+jb2)=(a1b1)+j(a2b2)(410)两个复数相乘(除)等于将它们的模相乘(除)、辐角相加(减)。例如，若,(411),4.2.2 正弦信号的相量表示 我们知道，正弦信号由振幅、角频率和初相三个要素确定。由于在正弦稳态电路中，各处的电流和电压都是正弦信号，并且它们的角频率与正弦电源的角频率相同，因此，在进行正弦稳态电路分析时，对于正弦电流、电压的振幅和初相，是我们最为关心的两个要素。为了简化分析，现在以电流为例，介绍正弦信号的相量表示。根据欧拉公式，可将复指数函数 表示为,注意上式中的虚部即为正弦电流的表达式，于是有,(412),式中,(413),式(413)中
3、复数 的模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相。在此基础上，再考虑已知的角频率，就能完全表示一个正弦电流。像这样能用来表示正弦信号的特定复数称为相量，并在符号上方标记圆点“”，以与一般复数相区别。称为电流相量，把它表示在复平面上，称为相量图，如图4.4所示。,图4.4 相量图,图4.5 旋转相量,同样地，正弦电压可表示为,(414),称为电压相量。由于正弦信号振幅是有效值的2倍，故有,(415),分别称为电流、电压的有效值相量，相应地，将 和 分别称为电流和电压的振幅相量。显然，振幅相量是有效值相量的 倍。,式中,(416),必须指出，正弦信号是代数量，并非矢量或复数量，所以，相量不等于正弦
4、信号。但是，它们之间有相互对应关系，即,(417),或,(418),因此可以采用相量表示正弦信号。式(417)和(418)中，双向箭头符号“”表示正弦信号与相量之间的对应关系。下面介绍几个正弦信号与相量之间的对应规则。为了叙述方便，设正弦信号A(t)、B(t)与相量 的对应关系为,(419),1.唯一性规则 对所有时刻t,当且仅当两个同频率的正弦信号相等时，其对应相量才相等。即,(420),证明 由于A(t)=B(t),所以有,(421),式(421)对所有时刻t均成立。令t=0，有,求得,同频率的正弦信号与相量一一对应,当令t=/2时，,代入式(421)有,或写成,求得,于是有,反之，若,则
5、有,根据复数相等定义，可得,也就是,故式(420)成立。它表明正弦信号与相量之间是一一对应的。,2.线性规则 若K1和K2均为实常数，且,则,(422),证明 设,由于,相同频率正弦量的线性组合对应它们各自对应相量的线性组合,所以，线性规则成立。一般而言，若干个正弦信号线性组合后的相量等于各正弦信号对应相量的同一线性组合。作为一种特殊情况，在式(422)中，令K2=0,则有,表明正弦信号数乘K1后的相量等于原正弦信号对应的相量数乘K1。,3.微分规则 若,则,(423),证明 因为,例3 已知电压u1=4sin(t+60)V,u2=6sin(t+135)V和u3=8sin(t-60)V。试写出各电压的振幅相量，并画出相量图。解 设正弦电压u1、u2和u3的振幅相量分别为,则,图4.6 电压相量图,例4 部分电路如图4.7(a)所示，已知,试求电流i。,图4.7 例4图,解 由已知条件可得,根据KCL，有,设正弦电流i的有效值相量为，则由线性和唯一性规则可得,因此，正弦电流i的表达式为,各电流的有效值相量如图4.7(b)所示。图中清楚地反映了各相量之间模及幅角或各正弦量之间振幅及初相的关系。,
