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1、第3节 概率的公理化定义及其性质,定义3.1 设E为随机试验,是它的样本空间，F是的一些子集所组成的集合族。如果F满足如下条件：,则称集类F为s-代数，称F中的元素为事件，为必然事件，空集f为不可能事件，(,F)为可测空间.,柯尔莫哥洛夫,1933年 前苏联著名数学家，现代概率论开创者,例1.F=f,为s-代数，这是最小的为s-代数.,例2.设A 为任意集合，则 F=f,A,为s-代数.,例3.设为任意有限集,则 F=2=的子集为s-代数.,例4.设为任意的集合,则 F=2=的子集为s-代数.,例5.设为实数限集,如果F是由所有的有界半闭区间,生成的为s-代数.则称F为Borel s-代数，F
2、中的元素叫做Borel 集.,可测空间(,F)具有以下性质,证明从略,定义3.2 设(，F)是一个可测空间，对每一集A F，定义实值集函数P(A)，若它满足如下三个条件：,(1)非负性条件：对每一集A F,都有 0P(A)1;,(2)规范性条件：P()=1;,(3)可列可加性条件:设Ai F,i=1,2,而且AiAj=,ij,i,j=1,2,有,则称集合函数P()为(，F)上的概率，P(A)为事件A的概率，(,F,P)为一个概率空间.,性质1.P()=0.,概率的性质,于是由可列可加性得,又由P()0得,P()=0,证明:设An=(n=1,2,),则,且对于,证明 令An+1=An+2=,则由
3、可列可加性及P()=0得,性质2.,即,性质3.对于任一事件A,有,证明 因为,且，,因此有,证明 由A B知B=A(B-A),且A(B-A)=,性质4 设A,B是两个事件,若A B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A),推论 若A B，则P(B)P(A),证明 由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)0 知 P(B)P(A),因此由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A),从而有 P(B-A)=P(B)-P(A),证明 因为A-B=A-AB,且AB A 故,推论 对于任意两事件A,B，有 P(A-B)=P(A)-P(AB),P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(A
4、B),性质5 对于任意两事件A,B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式.,证明 因 AB=A(B-AB)且A(B-AB)=,ABB故,P(AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB),概率的加法公式可推广到多个事件的情况.设A,B,C是任意三个事件，则有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC),一般地,对于任意n个事件A1,A2,An,有,多除少补原理,性质6(概率的连续性)设Ai F,i=1,2,而且,则有,证明从略,推论 设Ai F,i=1,2,而且,则有,证明 设 Bi=Ai A，对Bi 应用性质5即可.,定理3.1 设P为可测空间(,F)上的非负实值集函数，且P()=1,则具有可列可加性的充要条件是,(1)P是有限可加的；,证明从略,(2)P是连续的.,例1 设(,F,P)为一个概率空间.A,B F，且 AB=，求证 P()P(B).,证明 因AB=，由非负性和有限可加性，得,1P(A+B)=P(A)+P(B),故,P()=1-P(A)P(B).,解,例2,作业：P27，T16,17.,
