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1、第8章 系统的状态空间分析,第8章 系统的状态空间分析,8.1 状态空间描述 8.2 连续系统状态空间方程的建立 8.3 连续系统状态空间方程的求解 8.4 离散系统的状态空间分析 8.5 系统函数矩阵与系统稳定性,8.1 状态空间描述,8.1.1 状态变量和状态空间,根据第一章讨论，我们知道连续时间系统在任意时刻t0的状态是一组最少数目的数据x1(t0),x2(t0),，xn(t0)，这组数据连同时间间隔t0,t上的输入就足以确定系统在t时刻的输出(响应)。描述系统状态变化的变量称为 状态变量。,图 8.1-1 系统的状态变量,对于图 8.1-1 的二阶网络，由KVL和KCL方程可得,考虑到
2、iC(t)=C duC(t)/dt和uL(t)=LdiL(t)/dt，可将上面两式写成：,若指定网络中的i(t)和u(t)为输出，则由图8.1-1可得,设系统有n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)。以状态变量作为分量组成的n维列矢量x(t)，称为系统的状态(列)矢量。记成矩阵形式为,状态变量在初始观察时刻(t=t0-)的值称为系统的初始状态。,图 8.1-2 状态轨迹,8.1.2 状态模型和状态空间方程,图 8.1-3 系统的输入输出模型,图 8.1-4 一阶动态系统,采用积分器模拟图8.1-4(a)中记忆元件特性时，该记忆元件的输入输出关系可表示为,x(t0)已知,鉴于记忆元件的“
3、拉”出过程，并没有改变系统内部各部分间的连接关系，因此可以用记忆元件和无记忆部分的输入输出关系来表征原系统的特性，即,图 8.1-5 动态系统的状态模型,设n阶LTI离散系统，它具有p个输入f1(k),f2(k),，fp(k);q个输出y1(k),y2(k),yq(k)。记系统的n个状态变量为x1(k),x2(k)，xn(k),则其状态方程是关于状态变量的一阶差分方程组，输出方程是关于输入、输出和状态变量的代数方程组。两组方程的标准形式可写为,x(k0)已知,式中,图 8.1-6 二输入二输出离散系统,对于图 8.1-6 所示的二输入二输出离散系统，如果选择两个移位器的输出x1(k)、x2(k
4、)作为系统的状态变量，则可在移位器的输入端写出状态方程：,在系统的输出端得到输出方程：,将上述两式写成矩阵形式，则有,图 8.1-7 状态空间方程模拟框图,(1)状态和状态变量的本质在于表征系统的记忆特性或动态特性。它概括了为了预知未来特性而必须知道的有关系统历史情况的信息，并以能量形式保存在系统中。因此，只有动态系统才存在状态和状态变量；而对于瞬时系统，则无状态和状态变量可言，自然也不存在状态空间描述问题。(2)根据状态、状态变量的定义及其状态模型，一般可选取独立记忆元件(储能元件)中与系统能量有关的物理量作为系统的状态变量。典型的状态变量有：机械系统中与位能有关的位置变量，与动能有关的速度
5、变量；电系统中与储存电场能有关的电容电压或电荷变量，与储存磁场能有关的电感电流或磁链变量；以及离散系统中移位器的输出变量等等。状态变量是一组独立变量，其数目等于独立记忆元件的个数，即系统的阶数。,(3)设给定系统的状态矢量x()=x1()x2()xn()T，将x()作如下线性变换：()=Px()式中，()=1()2()n()T，P为nn阶常数矩阵，且|P|0。由于求解式(8.1-16)总可以得到x()，因此，其()矢量同样也是满足状态和状态变量定义的。可见，给定系统的状态变量选择并不是惟一的。在实际应用中，通常选取那些概念明确、测量容易并能使计算简化的物理量作为状态变量。例如，对于LTI电系统
6、，可直接选取独立电容电压和电感电流或移位器输出信号作为状态变量。,(4)根据状态空间方程，以先由状态方程解出状态矢量x()，然后由输出方程得到输出矢量y()。x()提供系统的内部信息，y()给出系统的输出响应。这种利用状态空间描述方程分析系统的方法称为状态空间分析法。它是现代系统分析的理论基础。,8.2 连续系统状态空间方程的建立,8.2.1 直接编写法,第一步，选取系统中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。第二步，对与状态变量相联系的每个电容和电感分别列出独立的节点(或割集)KCL方程和回路KVL方程。第三步，利用适当的KCL、KVL方程和元件伏安关系，消去上一步方程中可能出现的“非
7、法”变量，然后整理得出标准形式的状态方程。第四步，用观察法列出输出方程。,例 8.2-1 已知网络如图 8.2-1 所示，取图中电压u3和电流i2作为输出，试建立该网络的状态方程和输出方程。,图 8.2-1 例 8.2-1 图,解 取电感电流x1和电容电压x2为网络状态变量。对接有电容的节点b列写KCL方程有,对含有电感的回路l1列写KVL方程为,该式中i2是“非法”变量，应予以消去。为此，列出回路l2的KVL方程:,考虑到节点a的KCL方程i1=i2+x1，上式可写成,从而有,整理式，并代入各元件参数值，得出网络状态方程为,例 8.2-2 写出图 8.2-2 网络的状态方程,图 8.2-2
8、例 8.2-2 图,解,取电容C1上电压x1、电容C2上电压x2和电感L5中电流x3作为状态变量。对节点a、b和回路l2列出相应的KCL和KVL方程，有,考虑到,(8.2-7),将该式代入式(8.2-7)，然后整理得出状态方程为,若将导数运算符号作为一个算子写入系数矩阵，则状态方程可写成如下标准形式：,8.2.2 由微分方程建立状态空间方程,情况 1 系统微分方程不含输入导数项。考察一个三阶系统，设其输入输出方程为,传输算子为,式中不含输入f(t)的导数项。其算子方程可写为,图 8.2-3,根据状态模型，我们选择信号流图中每个积分器的输出信号作为状态变量，即,然后在各积分器的输入端写出状态方程
9、，得,其输出方程为,表示成矩阵形式有,设n阶线性时不变系统输入输出方程为,相应的算子方程和传输算子为,若选n维状态矢量为,图 8.2-4,例 8.2-3 已知描述系统的微分方程为,试建立该系统的状态空间方程。,解 令u(t)=4f(t)，将给定微分方程改写为,代入各系数值，可以得出状态空间方程为,即,情况 2 系统微分方程含有输入导数项。我们仍然先用一个简单系统来说明状态空间方程的建立过程，然后将结果推广到n阶系统。设一个三阶连续系统的输入输出方程为,相应的算子方程和传输算子为,为了利用情况1中得到的结果，我们引入辅助变量q，令,整理后比较等号两边诸项，得,同理，选每个积分器输出信号作为状态变
10、量，有,在积分器输入端写出状态方程，整理成矩阵形式为,由信号流图得出输出方程为,将上述讨论结果推广到一般n阶系统。设n阶系统的输入输出方程为,写出相应的算子方程和传输算子为,引入辅助变量q,将式(8.2-30)写成如下两个方程：,图 8.2-6 给出了该式的信号流图表示。若选n维状态矢量为,图 8.2-5,图 8.2-6,则描述式(8.2-29)系统的状态空间方程具有如下形式：,由于在微分方程中出现了输入的导数项，使输出方程中系数矩阵C发生了变化。当mn时，输出方程中的D矩阵仍为零。若m=n,信号流图中节点xn、y间出现增益为bm=bn的支路，这时输出方程变成,例 8.2-4 设三阶系统的输入
11、输出微分方程为,试建立其状态空间方程。,解 系统传输算子为,图 8.2-7 例 8.2-4 图,在信号流图输出节点写出输出方程,整理成矩阵形式为,利用状态空间方程容易推导出y(t)、y(t)和y(t)与状态变量之间的相互关系，对于本例有,如果已知系统的初始条件y(0-)、y(0-)和y(0-)，将它们代入上述各式，并考虑到t=0-时f(0-)=0，即可联立求解得到系统的初始状态x1(0-)、x2(0-)和x3(0-)。由上讨论可知，依据系统微分方程建立状态空间方程的步骤是：第一步，由系统微分方程确定系统的传输算子H(p)，并画出它的信号流图表示；第二步，选信号流图中积分器的输出信号作为系统的状
12、态变量；第三步，在各积分器的输入端写出状态方程；第四步，在信号流图的输出端(汇总)写出输出方程。,8.2.3 由系统函数建立状态空间方程,设LTI连续系统的系统函数为,图 8.2-8 直接形式模拟,例 8.2-5 给定系统的系统函数为,解,形式 1 采用图 8.2-8 所示的直接形式信号流图模拟H(s)。我们在形式上将H(s)的信号流图看成是H(p)的信号流图，将其中的S域信号F(s)、Y(s)视为时域信号f(t)、y(t);将“s-1”视为积分算子“p-1”。选择三个积分器的输出信号x1、x2和x3作为状态变量，在积分器的输入端列出状态方程,在输出端列出输出方程,整理成矩阵形式有,形式 2
13、采用直接形式信号流图模拟系统函数H(s)。由于此时，积分器的输出信号并非一定是后接节点的变量信号(可以还有其它支路的输入信号)，为了便于选择状态变量，画模拟信号流图时，应在有关积分器的输出端增加一个辅助节点和一条增益为1的辅助支路。,图 8.2-9 直接形式模拟,形式 3 设系统函数H(s)具有单极点，其部分分式展开式为,选积分器的输出为状态变量，则可得,和,写成矩阵形式为,图 8.2-10 并联方式模拟,8.3 连续系统状态空间方程的求解,线性时不变连续时间系统的状态空间方程为,对于具有p个输入、q个输出的n阶系统，上式中x(t)、f(t)和y(t)分别是n维状态矢量、p维输入矢量和q维输出
14、矢量，矩阵A、B、C、D都是常数矩阵。,8.3.1 状态空间方程的时域解法,设标量状态方程为,将上式两边同乘以e-at，移项后得,即,上式等号两边取0-到t的积分，得,若标量函数f(x)可以展开为如下收敛的幂级数：,两边同乘以eat，并整理得,则定义函数,例如，指数函数ext的收敛幂级数为,因此，可定义相应的矩阵指数函数为,例 8.3-1 已知方阵,求其矩阵指数函数eAt,解,可见，一个n阶方阵A，其矩阵指数函数eAt仍是n阶方阵。可以证明，矩阵指数函数eAt有以下重要结论：(1)对于任何方阵A，eAt恒有逆，且为,(2)对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则有,(3)对于方阵A，有,(4)若A
15、为n阶方阵 x为n维列矢量函数，P为非奇异矩阵，则有,现在我们来求矢量状态方程的时间域解。设系统初始状态矢量为,上式可写成,经移项后得,将上式两边取t0到t的积分，得出,上式两边左乘以eAt，整理后得,若初始观察时刻t0=0-,并令,则可写成,这就是矢量状态方程的时域解。式中等号右边第一项是状态矢量解的零输入分量，记为,显然，若x为n维列矢量，则(t)为n阶方阵。上式表明，系统在零输入情况下，(t)的作用是使系统由初始时刻的状态转移至t时刻的状态。因此，称(t)或eAt为连续时间系统的状态转移矩阵。式(8.3-15)中第二项是状态矢量解的零状态分量，记为,一般情况下，两个矩阵函数的卷积可以用矩
16、阵相乘的运算规则来定义，只是将其中的乘法运算符换成卷积运算符即可。例如:,于是，矢量状态方程的时域解可写成,若系统输入个数为p,我们定义pp阶对角矩阵,考虑到 的抽样性质，显然有,于是，系统输出（响应）可改写成,式中，第一项是系统的零输入响应，第二项是零状态响应，分别记为,和,式中,称为连续时间系统的单位冲激响应矩阵，简称冲激响应矩阵。若系统的输入、输出数目分别为p和q，则h(t)是qp阶矩阵，它的第i行第j列元素hij(t)代表第j个输入为(t)，而其他输入均为零时第i个输出的零状态响应。可以看出，这与单输入单输出系统的单位冲激响应定义是一致的。利用冲激响应矩阵，系统输出可表示为,8.3.2
17、 eAt的计算,(1)幂级数法。按照eAt定义，用计算机求出它的近似值。(2)将矩阵A变换成相似的对角矩阵，即,(3)应用凯莱-哈密顿(Caley-Hamilton)定理，将eAt表示成有限项之和，然后进行计算。,在矩阵代数中，对于n阶方阵A，若有非零n维列矢量x，标量满足方程式,则称为矩阵A的特征值。,因为,所以式(8.3-25)可写成,(8.3-25),令q()=det(-A)，上式可表示成,q()是的多项式，称为矩阵A的特征多项式。q()=0称为A的特征方程，它的根称为A的特征根，也就是式(8.3-25)中的特征值。式(8.3-27)中Ci(i=0,1,n)为特征多项式各项系数，i(i=
18、1,2,n)表示特征根。,根据本书附录B，应用凯莱-哈密顿定理可以证明：任一n阶方阵A的矩阵函数f(A)总可表示成一个次数不超过(n-1)的A的多项式，即,对于矩阵指数函数，则有,如果矩阵A的特征根1,2,n都是单根，则由附录B中式(B-21)可得,求解该方程组即可得出n个系数0,1,n-1。,如果A的特征根中有某个根1是m重根，此时可先列出如下与1对应的m个方程：,例 8.3-2 给定矩阵,求其矩阵指数函数eAt。,解 矩阵A的特征方程为,方程有两个相异的特征根,eAt可表示成,将1,值代入上式，并解得,于是,例 8.3-3 给定系统的状态空间方程为,已知系统初始状态,输入为单位阶跃函数。试
19、求该系统的状态矢量x和输出y,解,系统状态转移矩陈为.,（1）计算状态矢量解x(t)。,零状态分量,于是状态矢量解为,(2)计算输出响应y(t)。零输入分量,零状态分量,所以，系统的输出响应为,8.3.3 状态空间方程的S域解法,先考察一个单输入单输出一阶系统，其状态空间方程可表示为,式中，f(t)、y(t)、x(t)均是标量。若记F（s）=Lf(t),Y(s)=Ly(t)X(s)=Lx(t),则对式（8.3-32）方程两边分别取拉普拉斯变换，,即,式中，,上述求解过程同样适用于一般的多输入多输出n阶系统。对标准状态空间方程(8.3-1)取拉普拉斯变换，得,式中，X(s)表示状态矢量x(t)的
20、拉普拉斯变换，即,例 8.3-4 已知系统的状态空间方程为,系统输入为单位阶跃函数，初始状态x(0-)=1 2T。试求（1）状态转移矩阵 和冲激响应矩阵h(t)；（2）系统状态矢量x(t);(3)系统输出y(t),解(1)计算(t),h(t)。先求预解矩阵。因为,其行列式和伴随矩陈为,所以,取 的拉普拉斯反变换，得状态转移矩陈为,系统函数矩阵,取其拉普拉斯反变换,得冲激响应矩阵为,(2)计算状态矢量x(t)。状态矢量的零输入分量,状态矢量的零状态分量,于是系统的状态矢量为,(3)计算输出y(t)。输出的零输入分量,输出的零状态分量,因此,系统输出,即完全响应为,将连续时间LTI系统状态空间分析
21、的一般步骤归纳如下：第一步，确定系统状态变量。一般地说，可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常，对于用信号流图(或框图)表示的模拟系统，选取一阶系统(包括积分器)输出变量为状态变量；对于LTI电系统，选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。第二步，用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。,第三步，计算状态转移矩阵,或预解矩阵,第四步,求状态矢量x(t),其计算公式为,时域,S域,第五步，计算冲激响应矩阵,或系统函数矩阵,H(s)=C(s)B+D,第六步，计算系统输出(响应)y(t)，具体方法有两种：方法 1 如果状态矢量解已经求出，可将它直接代入输出方程得到y(t)。
22、方法 2 如果状态矢量解未知，可按下列公式计算：,时域：,S域：,8.4 离散系统的状态空间分析,8.4.1 状态空间方程的建立,例 8.4-1 已知离散系统模拟框图如图 8.4-1(a)所示，试建立其状态空间方程。,图 8.4-1 例 8.4-1 图,解,写成矩阵形式为,例 8.4-2 已知描述某离散时间系统的差分方程为,试建立该系统的状态空间方程。,解 由差分方程写出系统的传输算子为,图 8.4-2 例 8.4-2 信号流图,图 8.4-2(a)中有三个移位支路，需设三个状态变量，分别令这些支路的输出信号为状态变量x1(k)、x2(k)和x3(k),如图中所示。对各移位支路输入节点的信号列
23、方程，得,这就是系统的状态方程。其输出方程为,写成矩阵形式，得到状态空间方程的标准形式为,自然，与连续系统一样，我们也可以把系统传输算子表示成其他形式，画出相应的信号流图表示，编写出不同形式的状态空间方程。例如，可以将H(E)写成如下形式：,取图中各移位支路输出信号x1(k)、x2(k)和x3(k)作为状态变量，则可得到相应的状态空间方程为,即,8.4.2 状态空间方程的时域解法,描述LTI离散系统的状态空间方程由状态方程和输出方程组成，其标准形式可表示为,式中，f(k)、x(k)和y(k)分别是系统的输入矢量、状态矢量和输出矢量，系数矩阵A、B、C和D均为常量矩阵。,当给定系统在k=0时的初
24、始状态矢量x(0)以及k0时的输入矢量f(k)后，利用差分方程的递推性质，依次令式8.4-7(a)中的k=0,1,2,，就可以求得相应的状态矢量解x(1),x(2)，即：,(8.4-8),根据卷积和定义，式(8.4-8)可以写成,式中,称为离散系统的状态转移矩阵，其作用与连续时间系统中的状态转移矩阵(t)=eAt相仿。,得出系统的输出响应,式中，C(k)x(0)为零输入响应，h(k)*f(k)为零状态响应，且有,Ak是一矩阵函数，根据本书附录B中的定理B-2，它可以写成,若A的特征根1,2,n各不相同，则建立如下方程：,若A的特征根1是m重根，则重根部分方程有,例 8.4-3 已知矩阵,求其矩
25、阵函数Ak。,解 矩阵A的特征方程为,方程有两个相异的特征根,矩阵函数Ak可表示成,解得,(8.4-17),将以上系数值0、1代入式(8.4-17)，得,例 8.4-4 一离散时间系统模拟框图如图 8.4-3 所示。已知f(k)=(k)，初始条件y(0)=2,y(1)=6。试用状态空间分析法求系统输出响应y(k)。,图 8.4-3 例 8.4-4 图,解(1)建立系统的状态空间方程。取移位器输出变量x1(k)，x2(k)作为系统状态变量，由图可得状态空间方程为,即,(8.4-20),(2)计算状态转移矩阵Ak。由状态方程(8.4-20)知道系数矩阵A为,相应的Ak已在例 8.4-3 中求出，结
26、果为,(3)求状态矢量解。由式(8.4-9)可知,为了确定初始状态x(0)，分别令状态方程中的k=0和输出方程中的k=0,1,得,将初始条件代入上式，并联立求解得,于是,(4)求输出响应。由输出方程式(8.4-21)，得到系统完全响应,系统输出响应也可由式（8.4-11计算）。为此，需先求出单位响应矩阵,于是,8.4.3 状态空间方程的Z域解法,对于离散系统状态空间方程，除直接在时域中求解外，还可以在Z域中求解。,式中，,上式等号两边左乘以zI-A-1，得,若令,则式(8.4-24)可写成,代入，得到,(8.4-26),(8.4-27),式中,式(8.4-26)和(8.4-27)分别是状态矢量
27、和输出矢量的Z域解，取其Z反变换即可得到相应的时域解，具体表示为,将式(8.4-29)、式(8.4-30)分别与式(8.4-9)、式(8.4-11)进行比较，不难看出式中状态转移矩阵(k)与Z状态转移矩阵(z)，单位响应矩阵h(k)与Z传输矩阵H(z)之间都满足Z变换对关系，即,例 8.4-6 用Z域解法重新求解例 8.4-5。,解 在例 8.4-5 中已建立的系统状态方程为,式中，x(k)=x1(k)x2(k)T,各系数矩陈,系统输入为。初始状态 x(0)=0 1T。,(1)计算Z状态转移矩阵。,（2）计算Z系统函数矩陈。,(3)计算输出响应。,8.5 系统函数矩阵与系统稳定性,在状态空间描
28、述中，连续系统的系统函数矩阵为,式中的系数矩阵B、C、D，对于时不变系统而言，它们都是常数矩阵。所以，H(s)的极点仅取决于特征方程,的根，即矩阵A的特征根。由此可见，在连续系统的状态空间描述中，当系数矩阵A的特征值全部位于S平面的左半开平面上时，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。矩阵A的特征根在S平面上的分布情况仍可以用罗斯-霍尔维兹准则判定。同理，可由推导得到Z系统函数矩阵H(z)的极点是特征方程,例 8.5-1 设某连续系统的状态空间描述方程中，其系数矩阵,试问当K满足何条件时，系统是稳定的?,解 根据矩阵A的特征多项式,排出罗斯阵列为,若A的特征根均位于S平面的左半开平面上，则必须要求罗斯阵列的第一列数均大于零，故有,解得K3,即当K3时，该系统是稳定的。,例 8.5-2 如某离散系统的状态空间描述方程中，系数矩阵,试问K满足何条件时，系统是稳定的?,解 根据A的特征多项式,1-0.2 K-0.1-0.1 K-0.2 10.99 0.1K-0.2 K-0.02,排出朱里表:,应用朱里准则，若系统是稳定的，则必须有,
