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1、概率论与数理统计,(韩旭里_谢永钦版),第二章 随机变量,第一节 随机变量及其分布函数,第二节 离散型随机变量及其分布,第三节连续型随机变量及其分布,第四节随机变量函数的分布,第一节 随机变量及其分布函数,定义1:,上一页,下一页,返回,证明：,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,由概率的连续性得：,上一页,下一页,返回,例1：口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数,解：设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。而且由古典概率可算得,上一页,下一页,返回,于是，X的分布函数为：,上一页,下一页,返回,例2:考虑如下试验：在区间0，
2、1上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到0，1上任一点的可能性相同。求X的分布函数。,当x0时,解：由几何概率的计算不难求出X的分布函数,所以：,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,第二节 离散型随机变量及其分布,分布律常用表格形式表示如下：,X x1x2xk,pkp1p2pk,如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。,上一页,下一页,返回,分布律的两条基本性质：,上一页,下一页,返回,（）确定常数a的值;（）求的分布函数,因此,解：（）由分布律的性质知,p,a,上一页,下一页,返回,（2）由分布函数计算公
3、式易得的分布函数为：,上一页,下一页,返回,两点分布,当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（01）分布。简记为X(0-1)分布。,上一页,下一页,返回,若离散型随机变量X的分布律为,二项分布,其中0p1,称X服从参数为n,p的二项分布，记为Xb(n,p)。,上一页,下一页,返回,当n=1时，二项分布化为：PX=k=pk(1-p)1-k k=0,1,在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：,即X服从二项分布。,（01）分布可用b(1，p)表示。,即为（01）分布,上一页,下一页,返回,例：某交互式计算机有10个终
4、端，这些终端被各个单位独立使用，使用率均为0.7，求同时使用的终端不超过半数的概率。,在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，采用了近似计算。下面给出近似公式：,解：设X表示10个终端中同时使用的终端数，则Xb(10,0.7)。所求的概率为：,上一页,下一页,返回,泊松定理 设 0是一常数，n是任意整数，设npn=，则对任意一固定的非负整数k，有,证明,上一页,下一页,返回,定理的条件npn=，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小时有近似公式,其中=np。,在实际计算中，当 时用（=np）作为 的近似值效果很好。而当 时效果更佳。,的值有表可查。,上一页,下一页,返回,例5
5、：有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？,查表可知，满足上式最小的N是8。至少需配备8个工人才能满足要求。,解：设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知X(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：PXN0.01（=np=3）,上一页,下一页,返回,泊松(Poisson)分布,上式给出的概率满足：pk=PX=k 0,且,上一页,下一页,返回,例6:放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数X服从泊松分布
6、。罗瑟福和盖克观察与分析了放射性物质放出的粒子个数的情况。他们做了2608次观察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,设想把体积为V的放射性物质分割为n份相同体积 V 的小块，并假定：,在1秒内放出两个或两个以上粒子的概率为0,分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布,考虑单位时间1秒内放射出的粒子数X。,（2）各小块是否放出粒子,是相互独立的。,上一页,下一页,返回,在这两条假定下，1秒内这一放射性物质放出k个粒子这一事件，可近似看作该物质的n个独立的小块中，恰有k小块放出粒子。,其中PX=k是随n而变的，它是一个近似式。,放出k个粒子的概率：
7、,把物质无限细分，得到 PX=k 的精确式，即,由泊松定理知,其中,上一页,下一页,返回,第三节 连续随机变量及其分布,（4）若x为f(x)的连续点，则有,概率密度f(x)具有以下性质：,上一页,下一页,返回,由性质（2）知：介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。,由性质（3）知：X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。,由性质（4）知：若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。,上一页,下一页,返回,(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有,如果x0为f(x)的连续点，有,f(
8、x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。,（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点a的概率 为零，事实上,两点说明,在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有,事件X=a 并非不可能事件,上一页,下一页,返回,求：（1）常数a；（2）（3）X的分布函数F（x）,（1）由概率密度的性质可知,所以 a1/2,例1：设随机变量X具有概率密度,解：,上一页,下一页,返回
9、,上一页,下一页,返回,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b)，,均匀分布,设连续型随机变量X的概率密度函数为,X的分布函数为：,上一页,下一页,返回,概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示,上一页,下一页,返回,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为的指数分布。,指数分布,X的分布函数为,上一页,下一页,返回,f(x)和F(x)可用图形表示,上一页,下一页,返回,利用 可以证明，,正态分布,X的分布函数为,上一页,下一页,返回,（1）最大值在x=处，最大值为;,（3）曲线y=f(x)在 处有拐点；,正态分布的密度函数f(x)的几何特征：,（2）曲线y
10、=f(x)关于直线x=对称，于是对于任意h0，有,（4）当 时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线,上一页,下一页,返回,当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故 又称为位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。,越小，X落在附近的概率越大。,上一页,下一页,返回,参数=0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用 和 表示，即,和 的图形如图所示。,上一页,下一页,返回,由正态密度函数的几何特性易知,一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布的分布函数表达。若X,X的分布函数F(x)为,因此，
11、对于任意的实数a,b(ab)，有,函数 写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。,上一页,下一页,返回,例2：设X(0,1),求P1X2,P.,例3：某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布N(1100,502),乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？,上一页,下一页,返回,比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。,解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则X N(1100,50
12、2)，Y N(1150,802).(1)依题意要比较概率 的大小,两个概率如下：,上一页,下一页,返回,比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。,(2)依题意要比较概率 的大小,两个概率如下：,上一页,下一页,返回,第四节 随机变量函数的分布,设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么Y也是离散型随机变量。,设y=g(x)为一个通常的连续函数，X为定义在概率空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么Y也是一个定义在概率空间上的随机变量。,上一页,下一页,返回,由上表易得Y的 分布律,上一页,下一页,返回,对此类问题，先由X的取值xk，（k=1，2）求出Y=g(X)的取值yk=g（xk），（
13、k=1，2）；,本例（2）中，X的两个取值-1和1都对应Y的一个值-2，这样：PY=-2=PX=-1或X=1=PX=-1+PX=1=0.2+0.1=03,如果诸yk各不相同，则由X的分布律PX=xk=pk,k=1，2，便可得y的分布律：PY=yk=pk,k=1，2。,如诸yk中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应的概率加在一起。,上一页,下一页,返回,设X为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为了求出Y的概率密度fY(y)，可以先求出Y的分布函数FY(y),由FY(y)便可求出Y的概率密度fY(y)=FY(y)。计算的关键是给出上式的积
14、分区间。即将事件 转化为用X表示的事件。其中。,这种方法称之为分布函数法。,上一页,下一页,返回,解:先求出Y的分布函数FY(y),从而Y的概率密度为,上一页,下一页,返回,例3:设随机变量XN(0,1)，求Y=X2的概率密度fY(y)。,当y0时，FY(y)=PX2y,解:X的概率密度为,记Y的分布函数为FY(y)，那么FY(y)=PYy=PX2y,当y0时，FY(y)=0,Y的概率密度为,上一页,下一页,返回,定理 设随机变量X具有概率密度fX(x)。函数g(x)为（-，+）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为,当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有：,其中x=h(y)是y=g(x)的反函数，=min（g(-),g(+)）,=max（g(-),g(+)）。,证明:若y=g(x)严格单调增加，则其反函数x=h(y)存在且也严格单调增加。,Y=g(X)在区间(，)内取值，,上一页,下一页,返回,若y=g(x)严格单调下降，同样可以证明:,Y的概率密度为,综上所述得:,上一页,下一页,返回,例4:设随机变量XN()，求Y=aX+b(a0)的概率密度fY(y)。,y=ax+b为严格单调且可导的函数，其反函数为：,由上述定理得Y=aX+b的概率密度为,解:X的概率密度为：,即有,取，得,上一页,下一页,返回,Thank You!,
