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1、1,概率论与数理统计第11讲,本文件可从网址http:/上下载,2,二元随机变量,3,定义 如果每次试验的结果对应着一组确的实数(X1,X2,Xn),它们是随试验结果不同而变化的n个随机变量,并且对任何一组实数x1,x2,xn,事件X1x1,X2x2,Xnxn 有确定的概率,则称n个随机变量的整体(X1,X2,Xn)为一个n元随机变量(或n元随机向量),4,定义 称n元函数F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn(x1,x2,xn)Rn为n元随机变量的分布函数.,5,事件X1x1,X2x2,Xnxn表示n个事件X1x1,X2x2,Xnxn的交事件,即 X1x1X2x2Xnxn如前
2、所述,n个事件的交事件通常不好计算,要利用乘法法则来进行计算.即利用公式P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),6,(一)离散型,1.联合分布定义 如果二元随机变量(X,Y)所有可能取的数对为有限或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称(X,Y)为二元离散型随机变量.,7,为了直观,可以把(X,Y)所有的可能取值及相应概率列成表,称为(X,Y)的联合概率分布表,8,也可以用一系列等式来表示二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布.PX=xi,Y=yj=pij(i,j=1,2,)这都被称作X与Y的联合分布律,具有性质:,9,例1
3、同一品种的5个产品中,有2个正品,每次从中取1个检验质量,不放回地抽取,连续2次,记Xk=0表示第k次取到正品,而Xk=1为第k次取到次品(k=1,2).写出(X1,X2)的联合分布律.,10,解 按乘法公式有,11,列成概率分布表为,12,边缘分布与联合分布的关系二元随机变量(X,Y)中,分量X(或Y)的概率分布称为(X,Y)的关于X(或Y)的边缘分布.,13,如果已知(X,Y)的联合分布为 PX=xi,Y=yj=pij(i,j=1,2,)则,14,例1的边缘分布的计算,15,即PX1=0=0.4 PX1=1=0.6PX2=0=0.4 PX2=1=0.6考虑到5个产品中有两个正品三个次品,当
4、然一次取到正品的概率为0.4,取到次品的概率为0.6,16,例2 将两封信随机地往编号为1,2,3,4的4个邮筒内投.Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2).写出(X1,X2)的联合分布及(X1,X2)中关于X1的边缘分布,17,解 试验共有42=16种不同的等可能结果,18,计算结果列于下表并计算X1的边缘分布,19,上表计算出的X1的边缘分布可列成下表,20,条件分布 对于二元离散型随机变量(X,Y),如果pj=PY=yj0,称pij/pj(i=1,2,)为在Y=yj条件下关于X的条件分布,记为,21,显然PX=xi|Y=yj是非负的,并且对于所有的i,它们的和为1,同样地,若pi0,
5、称,为在X=xi条件下关于Y的分布.,22,求开始一例的各个条件分布,PX1=0|X2=0=1/4,PX1=1|X2=0=3/4PX1=0|X2=1=1/2,PX1=1|X2=1=1/2PX2=0|X1=0=1/4,PX2=1|X1=0=3/4PX2=0|X1=1=1/2,PX2=1|X1=1=1/2,23,例3 求出例2在X2=1条件下X1的分布,24,例4 某射手在射击中,每次击中目标的概率为p(0p1),射击进行到第二次击中目标为止,X1,X2表示第1,2次击中目标时所进行的射击次数,求X1和X2的联合分布以及它们的条件分布.,25,解 令q=1-p,事件X1=i,X2=j表示第i次及第
6、j次击中了目标(1ij),而其余j-2次都没有击中目标.已知各次射击是相互独立的,所以pij=PX1=i,X2=j=p2qj-2(i=1,2,1ij),26,列成表为,27,边缘分布为:,这是第一次击中次数为第i次射击的概率分布,可见它是服从几何分布.,28,29,对于任意大于1的正整数j=2,3,有pj0,因此关于X1的条件分布为,即是在前j-1次射击中等可能的离散均匀分布.,30,同样可得关于X2的条件分布为:,31,连续型 二元连续型随机变量是用联合概率密度函数f(x,y)来描述的,它具有性质,32,因此对于平面上任何可积区域D,(X,Y)落在此区域内的概率是f(x,y)在D上的二重积分
7、,即,33,二元概率密度函数f(x,y)从图形上看是在xoy平面上方的一个曲面,包围着下方的体积为1.,34,显然,对任意实数ab及cd,有,(X,Y)的分布函数F(x,y)也可由下式求出:,35,(X,Y)关于X及Y的边缘分布函数可按下式求出,36,若记,37,同样地记,则称fY(y)是(X,Y)中关于Y的边缘概率密度.,38,条件概率密度,首先计算cYc+条件下aXb的条件概率,其中是一个非常小的数.,当0时上面的等式严格成立,39,若fY(y)0,称,为在Y=y条件下,关于X的条件概率密度称,为在X=x条件下,关于Y的条件概率密度,40,随机变量的独立性,两个随机变量X和Y是相互独立的,
8、是指的其中一个变量取任意值的事件和另一个变量取任意值的事件总是相互独立的.,41,严格的定义为:定义 对于任何实数x,y,如果二元随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)等于X和Y的边缘分布函数的乘积,即F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X与Y相互独立.,42,离散型 X与Y相互独立的充要条件是对一切i,j=1,2,pij=pi pj,43,例 如果X取值1,2,3的概率为0.2,0.5,0.3,而Y取值1,2的概率为0.6,0.4,X与Y相互独立,则它们的联合概率分布如下表所示:,44,在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下,如果要判定其不独立往往容易,只要任找一个pij不
9、等于边缘概率pi和pj的乘积就可断定其不独立.经常的快捷办法就是,只要发现联合概率分布表中有0存在,就基本可以认为这两个随机变量不独立了.而如果要判定其独立,则需要验证每一个pij是否为各个边缘概率的乘积.,45,连续型,如X和Y为连续型随机变量,则它们相互独立的充分必要条件为,对任何实数x,yf(x,y)=fX(x)fY(y),46,当一个二元函数f(x,y)可写成两个单变量的函数乘积f(x,y)=g(x)h(y)时,称其为可分离变量的.不难证明如果X和Y的联合概率密度f(x,y)可分离变量的,它们就是相互独立的,反之亦然.,47,例5 本节例2的两个随机变量X1和X2是否相互独立?,解 p22=0p2p2=(1/16)(1/16)因此X1和X2不独立.,48,例6 两个随机变量X1与X2相互独立,其概率密度为,求它们的联合概率密度.,49,解:,50,作业 第43页 第3题 第45页 第9题第13题第50页 第16题,
