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1、第7章 弯曲变形,工程问题中的弯曲变形,挠曲线的近似微分方程,用积分法求弯曲变形,用叠加法求弯曲变形,简单静不定梁,提高弯曲刚度的措施,7-1 概 述,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,一、工程实践中的弯曲变形问题,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
2、,二、弯曲变形的基本概念,描述截面上任一点的位移:,1、形心轴的线位移 挠度 v,2、截面绕形心轴的角位移 转角,A,B,F,二、弯曲变形的基本概念,x,l,x,l,F 变弯的形心轴 挠曲线,F 挠度随坐标变化的方程 挠曲线方程,F 忽略剪切变形+梁的转角一般很小,7-2 梁挠曲线的近似微分方程,中性层曲率表示的弯曲变形公式,由高等数学知识,挠曲轴微分方程,（推广到非纯弯）,（纯弯）,小变形时：,7-3 用积分法求弯曲变形,F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。,边界条件：梁截面的已知位移条件,连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件,连续:,光滑:,$挠曲线在B、C点连续且光
3、滑,可动铰:,自由端：无位移边界条件,固定端:,连续条件：,边界条件：,例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件,例2：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和 vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力 P 作用下的转
4、角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。,解：AC段:,由对称条件：,由边界条件：,得：,得：,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,F 根据弯矩图定凹凸性，F 弯矩图过零点处为拐点，F 支座限定支座处的位移。,7-4 用叠加法求弯曲变形,一、用叠加法计算梁的变形,当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。,例5：用叠加法求 vC、A、B。,例6：若图示梁B 端的
5、转角 B=0，则力偶矩 M 等于多少？,解：,例7:求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。,仅考虑BC段变形(刚化AB,可视BC为悬臂梁),静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的代数和或矢量和,仅考虑AB段变形(刚化BC),例8：已知 E 为常数，I2=2I1，求 WC，C。,刚化AB段：,仅考虑 BC 段变形：,刚化BC段：,仅考虑 AB 段变形：,对称性在变形分析中的应用,例9：已知 E 为常数，I2=2I1，求 WC，B。,例10：利用对称性求下面梁中点挠度与转角,反对称,挠度为0(弯矩为0,拐点),对称,转角为0,反对称,挠度为0(弯矩为0
6、,拐点),二、梁的刚度计算,刚度条件：,v、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,CL9TU40,例11：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，v=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,解：由刚度条件:,因此满足强度要求,7-5 用变形比较法解静不定梁,静不定度与多余约束,多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束,多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩,静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数,静不定度多余约束数,5-3=2 度静不定,6-3=3 度静不定,相当系统：受力与原静不定梁
7、相同的静定梁，相当系统的选择不是唯一的。,相当系统1,相当系统2,相当系统,A,总结：分析方法与分析步骤,1、判断静不定度（确定多余约束数）；2、解除多余约束，建立相当系统；3、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件)；4、结合平衡方程，求多余支反力。,解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件,F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。,静定基:,相当系统：,例12：求图示梁的支反力。,解：,解除多余约束，建立相当系统。,2.建立变形协调条件,3.联立求解,解2：,解除多余约束，建立相当系统。,2.建立变形协调条件,3.联立求解,例13：为了提
8、高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求：(1)二梁接触处的压力；(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。,解：(1)变形协调条件,解：(2)加固前后AB梁的最大弯矩,解：(3)加固前后B点挠度,例:直径为d 的圆截面梁,支座 B 下沉，max=?,解：,7-6 提高弯曲刚度的措施,依据 对比强度问题 或,让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面,与 的比较,合理安排约束与加载方式（分散载荷等）,（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）.,辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强,小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微,(2)强度与材料 和 相关,刚度与E 相关,高强度钢一般不提高E钢与合金钢:E=200 220GPa铝合金:E=70 72GPa,(3)刚度对梁的跨度更敏感,跨度微小改变，将导致挠度显著改变,例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%,梁跨度的合理选取,谢谢使用,
