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1、10.3 组 合（一）组合与组合数,普通高级中学教科书（必修）第二册（下B）第九章：直线、平面、简单几何体,（1）从1、2、3、4、5中任取出2个数作除法，有多少个不同的结果。,（2）从1、2、3、4、5中任取出2个数作乘法，有多少个不同的结果。,（3）北京、上海、成都之间需要修建几条铁路,（4）北京、上海、成都之间需要多少种火车票,（5）集合A=1,2,3,4含3的子集的个数,（6）从10位同学中选出两人进行乒乓球比赛,（7）从圆上8个点中选出2个点，可得多少条有向线段,（8）从圆上8个点中选出3个点，可得到多少个三角形,（2）从1、2、3、4、5中任取出2个数作乘法，有多少个不同的结果。,
2、（3）北京、上海、成都之间需要修建几条铁路,（5）集合A=1,2,3,4含3的子集的个数,（6）从10位同学中选出两人进行乒乓球比赛,（8）从圆上8个点中选出3个点，可得到多少个三角形,共同点：从n个不同元素中取出m个元素，取出的m个元素与顺序没有关系,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,二、组合定义:,定义,计数,区别,取出的元素与顺序没有关系,取出的元素与顺序有关系,三、排列和组合的联系和区别:,想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,问题2（1）从a、b、c、d这四
3、个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排列？,abc abd acb acd adb adc bac badbca bcd bda bdc cab cad cba cbdcda cdb dab dac dba dbc dca dcb,问题2（2）从a、b、c、d这四个字母中，取出3个字母组成一组，共有多少种不同的组合？,组合,排列,abc bac cabacb bca cba,abd bad dabadb bda dba,acd cad dacadc cda dca,bcd cbd dbcbdc cdb dcb,问题2（1）从a、b、c、d 这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列
4、，共有多少种不同的排列？,“先选后排”,四、组合数公式,根据分步计数原理，得到：,上面的公式还可以写成,例1 计算：（1）（2）,四、组合数公式,例2 求证：,分析：从a、b、c、d四个不同元素中，每次取出3个元素的组合与每次取出1个元素的组合为,一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数.,性质1,证明：,解：,2、解方程：,解：原方程为,2xx4 或 2x21-x,解得：x4 或 x7,经检验x4，x7都是原方程的
5、根。,练习、1（1）从200人中选出198人参加升旗仪式；（2）从99人中选出96人或97人参加数学竞赛,再看下面的问题：,从；这nl个不同元素中，每次取出m个元素,（1）可以有多少个不同的组合？（2）在这些组合里有多少个是含有a1的？（3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？（4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？,从n1元素中取出m个元素的组合有 个，,分 析：,第一类：其中含有a1的有 个，,第二类：不含a1的有 个,根据分类计数原理，得,证明：,例3:求证：,证明：,例4:一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使
6、其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？,说明：(2)+(3)=(1),解：,例5:在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？,解：,（3）按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为、选1人的方法数为,共有选法:,例7:从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（
7、5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,解答：(4)方法一：按女同学的选取情况分类：,选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学,所有选法数为：,(种),方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为：,(种),例8:从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,解：（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委,用分步计数原理可得到所有方法总数为：,（种）,例8:从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,
