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1、第五章,大数定律及中心极限定理,一、大数定律,二、中心极限定理,大数定律,第五章,第一节,二、贝努里大数定律,一、切比雪夫大数定律,三、辛钦大数定律,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,定理1（切比雪夫大数定
2、律）,切比雪夫,即当n趋于无穷大时，依概率收敛,切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列Xn，如果期望相同且方差相同，则,随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.,当n充分大时，,差不多不再是,切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述,下面给出的贝努里大数定律，是定理1的一种特例.,贝努里,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理2（贝努里大数定律）,贝努里,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n
3、与事件A的概率p的偏差很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2,独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对任给 0，,定理3（辛钦大数定律）,辛钦,【解】,中心极限定理,第五章,第二节,二、棣莫佛拉普拉斯定理,一、独立同分布下的中心极限定理,在概率论中，习惯于把随机变量和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做,中心极限定理,由于n个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,定理1（独立同分布下的中心极限定
4、理）,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.,即 充分大时，,或,定理2(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为
5、,解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由中心极限定理,近似N(0,1),P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),=1-0.7881=0.2119,1-,例2 用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?,解,设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,200),则 X1,X2,X200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且,由中心极限定理得X近似服从正态分布,EX=200E
6、Xi=20000,DX=200DXi=20000,所求为P(X20500)=,1-P(X20500),=0.0002,故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.,例3,设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。,解：设X是损坏的部件数，则 Xb(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.,由德莫佛-拉普拉斯定理有,例4 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯积分定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值.,解 设X表示100户中被盗索赔户数,则,Xb(100,0.2),由棣莫佛-拉普拉斯定理得：X近似服从正态分布,EX=np=20,DX=np(1-p)=16,所求 P(14X30),=0.927,
