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1、数 字 图 像 处 理 Digital Image Processing,翟瑞芳Office:逸夫楼B407-1,第六章 数学形态学及其应用,6.1 引言 6.2 二值形态学 6.3 形态学的应用 6.4 应用实例,6.1 引 言,6.1.1 数学形态学(Mathematical Morphology)1.发展 数学形态学诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J.Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/击不中变换”，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法。,2.基本思想 数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探
2、针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。数学形态学基于探测的思想，与人的FOA(Focus Of Attention)的视觉特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、甚至加入灰度和色度信息）来探测、研究图像的结构特点。,3.应用领域 数学形态学已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机数字图像处理的一个重要研究领域，并且已经应用在多门学科的数字图像分析和处理的过程中。这门学科在计算机文字识别，计算机显微图像分析，医学图像处理，图像编码压缩，工业检测，材料科学，机器人视觉，汽车运动情况监测等方面都取得了非
3、常成功的应用。另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层X光照像等领域也有良好的应用前景。,6.1.2 基本符号和术语,1.元素和集合 在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。对于二值图像而言，习惯上认为取值为1的点对应于景物中心，用阴影表示，而取值为0的点构成背景，用白色表示，这类图像的集合是直接表示的。考虑所有值为1的点的集合为A，则A与图像是一一对应的。对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内，那么就说a是A的元素，记为aA，否则，记作aA，,元素与集合间的关系,集合的交集、并集和补集,3.击中（Hit）与击不中（Miss）设有两幅图像A和B，如果AB，那么称B
4、击中A，记为BA，其中是空集合的符号；否则，如果AB=，那么称B击不中A。,击中与击不中（a）B击中A；（b）B击不中A,4.平移和反射 设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为Abab|aA，即取出A中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b。A关于图像原点的反射结果为AV=a|-a A，即将A中的每个点取反数后所得的新图像。,平移与反射,5.目标和结构元素 被处理的图像称为目标图像。在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素”。“结构元素”一般
5、用大写英文字母表示，例如用S表示。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。,不同形状的结构元素 P139 图6-4矩形结构元素十字形结构元素圆形结构元素菱形结构元素,6.2 二值形态学,二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。以下用阴影代表值为1的区域，白色代表值为0的区域，运算是对值为1的区域进行的。二值形态学中两个最基本的运算腐蚀与膨胀。,腐蚀与膨胀示意图,6.2.1 腐蚀 腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。对一个给定的目标图像X和一个结构元素S，将S在图像上移动。在每一个
6、当前位置x，S+x只有三种可能的状态：(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+xX与S+xXC均不为空。,S+x的三种可能的状态,X,满足式(1)的点x的全体构成结构元素与图像最大相关点集，这个点集称为S对X的腐蚀(简称腐蚀，有时也称X用S腐蚀)，记为XS。腐蚀也可以用集合的方式定义，即 即X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的原点位置的集合。,腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。（1）如果结构元素取33的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。（2）腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这
7、样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。（3）如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。,腐蚀运算示例,例腐蚀运算图解：图给出腐蚀运算的一个简单示例。其中，(a)中的阴影部分为集合X，(b)中的阴影部分为结构元素S，而(c)中黑色部分给出了XS 的结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。,用33的结构元素进行腐蚀(a)原始二值图像；(b)33结构元素；(c)腐蚀结果,(a),(b),(c),不同大小的结构元对同一幅图像腐蚀的结果,6.2.2 膨胀 腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的子集S+x收缩为点x。反之，也可
8、以将X中的每一个点x扩大为S+x，这就是膨胀运算，记为XS。若用集合语言，它的定义为XS=x|x+SX,膨胀运算示例,例膨胀运算图解：图给出膨胀运算的一个简单示例。其中，(a)中的阴影部分为集合X，(b)中的阴影部分为结构元素S，而(c)中黑色部分给出了XS 的结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）扩大小了。,6.2.3 开、闭运算 1.基本概念 膨胀和腐蚀并不互为逆运算，可以结合使用。若先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，称为开运算（或开启）；先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果，称为闭运算（闭合）。开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。,对图像X及结构元素S，用符号XS表示S对图像X作开
9、运算，用符号XS表示S对图像X作闭运算，它们的定义为,X S=(XS)S,X S=(XS)S,2.开、闭运算各自的作用 开运算对边界进行了平滑，去掉了凸角和细边；闭运算通过填充图像的凹角来平滑图像;开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大。,开运算去掉了凸角(a)结构元素S1和S2；(b)X S1；(c)X S2,闭运算填充了凹角(a)结构元素S1和S2；(b)XS1；(c)XS2,开、闭运算示例(a)原图像；(b)结构元素S；(c)结构元素S腐蚀图像X；(d)结构元素S腐蚀X的结果；(e)对腐蚀的结构再膨胀；(f)再膨胀（开运算）的结果XS；(g)结构元素S膨胀X；(h)结构元素S膨胀X
10、的结果XS；(i)对膨胀的结果再腐蚀；(j)再腐蚀的结果（闭运算）XS,3.开闭运算的代数性质 1）对偶性(XC S)C=XS，(XCS)C=X S2）扩展性（收缩性）X SXXS,3）单调性 如果XY，则XSYS，X SY S 如果YZ且ZY=Z，那么XYX Z,4）平移不变性(X+h)S=(XS)+h，(X+h)S=(X S)+hX(S+h)=XS，X(S+h)=X S 5）等幂性(XS)S=XS，(X S)S=X S 开、闭运算的等幂性意味着一次滤波就能把所有特定结构元素的噪声滤除干净，作重复的运算不会再有效果。,X(b)XS(c)X-XS(d)XS(e)XS-X,开运算：去掉了凸角闭运
11、算：填充了凹角,开、闭运算效果示意图(a)原始图像；(b)开运算的结果；(c)闭运算的结果,(a)(b)(c),6.2.4 击中击不中(Hit/Miss)变换 1.定义 设X是被研究的图像，S是结构元素，而且S由两个不相交的部分S1和S2组成，即S=S1S2，且S1S2=。于是，X被S“击中”（XS）的结果定义为,击中运算还有另外一种表达形式：,即X被S击中的结果相当于X被S1腐蚀的结果与X被S2的反射集S2V膨胀的结果之差。由此可见，击中运算也可以借助于腐蚀、膨胀两基本运算来实现。,2.击中运算的应用 击中运算相当于一种条件比较严格的模板匹配，它不仅指出被匹配点所应满足的性质即模板的形状，同
12、时也指出这些点所不应满足的性质，即对周围环境背景的要求。,用击中/击不中变换识别字符（a）结构元素S；（b）图像X；（c）X（S1，S2）,6.4 形态学的应用,6.4.1 形态学滤波 可以利用开、闭运算去除图像的噪声、恢复图像，也可交替使用开、闭运算以达到双边滤波目的。一般，可以将开、闭运算结合起来构成形态学噪声滤波器，例如(X S)S或(XS)S等。,形态学滤波示意图,6.4.2 骨架抽取 利用细化技术得到区域的细化结构是常用的方法。因此，寻找二值图像的细化结构是图像处理的一个基本问题。在图像识别或数据压缩时，经常要用到这样的细化结构，例如，在识别字符之前，往往要先对字符作细化处理，求出字
13、符的细化结构。骨架便是这样的一种细化结构，它是目标的重要拓扑描述，具有非常广泛的应用。,轮廓的定义定义1设X、B为欧氏空间E2上的集合,以B为结构元素进行形态学运算,X的外轮廓记为E(X),则E(X)=(X B)-X.定义2设X、B为欧氏空间E2上的集合,以B为结构元素进行形态学运算,X的内轮廓记为I(X),则I(X)=X-(XQB).,骨架的定义 中轴定义,(a)火种传播方式定义的中轴(b)最大内切圆方式定义的中轴,形态学定义 对于k0，1，2，定义骨架子集Sk（X）为图像X内所有最大圆盘kB的圆心x构成的集合。从骨架的定义可知，骨架是所有骨架子集的并，即 S(X)=Sk（X）|k0，1，2
14、，骨架子集为Sk（X）=(XkB)-(X k),S(X)=(XkB)-(XkB)|k0，1，2，,骨架抽取示例(a)一幅二值图像；（b）用33的结构元素S得到的骨架；(c）用55的结构元素得到的骨架；（d）用55的结构元素得到的骨架,应用实例细化,求一幅图像骨架的过程就是对图像进行“细化”的过程。在文字识别、地质构造识别、工业零件形状识别或图像理解中，先对被处理的图像进行细化有助于突出形状特点和减少冗余信息量。,设已知目标点标记为1，背景点标记为0。边界点是指本身标记为1而其8连通邻域中至少有一个标记为0的点。算法对一幅图像的所有边界点即一个33区域都进行如下检验和操作：,（1）考虑以边界点为
15、中心的8邻域，设p1为中心点，对其邻域的8个点逆时针绕中心点分别标记为p2，p3，p9，其中p2位于p1的上方。如果p1=1(即黑点)时，下面4个条件同时满足，则删除p1(p1=0)：2N(p1)6，其中N(p1)是p1的非零邻点的个数；S(p1)=1，其中S(p1)是以p2，p3，p4，p9为序时这些点的值从0到1变化的次数；p2p4p6=0或者S(p1)1；p4p6p8=0或者S(p1)1。,（2）同第（1）步，仅将中的条件改为p2p4p8=0，中的条件改为p2p6p8=0。同样当对所有边界点都检验完毕后，将所有满足条件的点删除。以上两步操作构成一次迭代。算法反复迭代，直至没有点再满足标记删除的条件，这时剩下的点就组成区域的骨架。,细化算法示意图(a)标记p1和邻点；(b)p1不可删除情况一；(c)p1不可删除情况二；(d)p1不可删除情况三；(e)细化前图像；(f)细化后的结果,本 次 授 课 结 束 谢 谢！,
