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1、高斯随机过程,北京航空航天大学主讲人：张有光电话：82314978，F806,第12讲,高斯 数学王子,他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘.他推动了数学的进展直到下个世纪。数学是科学的皇后17771855 德国,拉普拉斯认为：高斯是世界上最伟大的数学家,主要贡献,数据拟合中最小二乘法正态分布公式 和高斯曲线代数基本定理：多项式解的存在性对数论、复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等各个领域都有卓越的贡献第一个成功地运用复数和复平面几何,算术探究奠定了近代数论的基础一般曲面论开创了近代微分几何；最先领悟到存在非欧几何的数学家现代数学分析学大师，无穷极数的一般研究，引入了高斯级数的概念，对级
2、数的收敛性第一次作了系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研究的新时代，开辟了通往19世纪中叶分析学的严密化道路。,在数学中：以高斯命名的有,高斯公式、高斯曲率、高斯分布、高斯方程、高斯曲线、高斯平面、高斯记号、高斯概率、高斯变换、高斯分解、高斯和、高斯素数、高斯级数、高斯系数、高斯准则、高斯原理、高斯消元法、高斯映射、高斯测度、高斯二次型、高斯多项式、高斯不等式、高斯随机过程、高斯随机变量等等.,主要内容,高斯随机过程定义多维高斯随机变量高斯随机过程性质,1、高斯随机过程定义,随机过程，在 中的任意n个时刻(n是正整数)上的n维 随机矢量 的联合分布密度函数是高斯的：,2、高斯过程的重要性,广
3、泛性中心极限定理：大量独立的，均匀微小的随机变量总和近似地服从高斯分布例如，无线电设备中的热噪声（前置放大器）、通信信道中噪声信号、大气湍流、宇宙噪声、维纳过程（布朗运动）等等数学优点二阶矩、广义平稳与狭义平稳等价，高斯随机过程通过线性系统还是高斯随机过程,二、多维高斯随机变量,一维高斯（正态）分布二维高斯（正态）分布 n维高斯（正态）分布,1、一维高斯（正态）分布,特别地,2、二维高斯（正态）分布,特别地 r=0,标准化可得：,n维联合分布？,2、二维高斯分布的矩阵形式,2、二维高斯分布的矩阵形式,与一元高斯分布相比，可以推测n元高斯分布的形式,3、n维高斯联合概率密度,n维高斯随机变量 均
4、值矢量，且它的协方差矩阵 是正定矩阵，则概率密度函数为：,【补充】陈省身“好数学”,三角形三个内角之和等于180度,三角形三个外角之和等于360度,为什么？,n边形n个内角之和等于(n-2)180度,n边形n个外角之和等于360度,3、n维高斯联合概率密度,先看n元完全独立标准高斯随机变量,3、n 维高斯联合概率密度,3、n维高斯联合概率密度,协方差矩阵C为对称正定的，根据矩阵论定理，存在可逆线性变换，可以对角化，也即：,雅可比：,线性变换,4、n 维高斯分布特征函数,证明：先看标准正态,于是,5、多维高斯随机矢量的边沿分布,子矢量,6、不相关独立,n维高斯随机变量 互不相关，则协方差矩阵为对
5、角矩阵，于是,不相关独立,6、子向量的统计独立性,X为高斯分布的随机矢量，X1和X2为两个子矢量，其协方差矩阵 则X1和X2独立的充要条件,证明：,必要性：两个随机向量独立，则第一个的分量与所有第二个随机变量的分量独立，也即充分性：,7、线性变换,等价定义 重要,为联合正态分布的充分必要条件,正态分布,8、n维高斯随机矢量各阶矩,一阶矩二阶矩,三、高斯随机过程,1、高斯随机过程定义2、广义平稳严平稳3、复高斯随机过程,1、高斯随机过程定义,定义：随机过程，在 中的任意n个时刻(n是正整数)上的n维 随机矢量 的联合分布密度是高斯的：,2、广义平稳严平稳,3、复高斯随机过程,如果所给定的随机过程
6、是复高斯随机过程，则在n个时刻对应的n个复随机变量，构成2n维联合高斯分布。,4、高斯随机过程的特性,高斯随机过程完全由它的均值和协方差函数决定。高斯随机过程在不同时刻 的 取值不相关和相互独立等价高斯过程的广义平稳性意味着严格平稳性高斯随机过程通过线性系统还是高斯的,举例说明,设X(t)是定义在a,b上的高斯随机过程，是两个任意的非零实函数，令,证明,联合高斯的。,证明：,都是高斯随机变量,小结,n维正态分布概率密度函数与特征函数，注意归纳方法与演绎方法结合的科学思维方法判定联合正态的方法高斯随机过程线性系统也是高斯随机过程，更进一步任意随机过程可以看成是高斯白噪声通过线性系统的输出,本次作业,P189第5,7练习题。,谢谢大家,
