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1、线性代数 练习系统,前言 这套“线性代数”辅助学习系统（以下简称系统）是与所用教材相配套的，主要面向使用该教材的学生。本系统按照中国人民大学出版的线性代数的章节顺序编排，以便与教学需求同步，方便学生使用。每章包括以下内容：1）教学基本要求：主要根据教育部对经济类线性代数课程的基本要求确定，并结合我校特点做了一些改动。2）重点与难点：归纳教学内容的重点与难点。,3）学习要点与能力目标：概括地阐明本章学习的关键。4）书后习题解答：选择教材中典型的或难度较高的习题（特别是证明题）作出详细解答。5）练习题：考虑到教材题目的数量有限，补充了一些难度适中的题，并给出解答。有些题目作出了几种不同的解法。6）
2、补充题：为满足有较高要求的同学，增加了一些有一定难度的题目，其中有些是历年研究生入学考试题目。再解答之前给出提示，分析解题思路、所用的原理和方法。,第一章 行列式,一、教学要求与内容：了解排列、逆序、对调的概念；了解n阶行列式的定义与性质，熟练掌握计算二、三阶行列式的方法，会利用行列式的性质与行列式按行、列展开的法则计算简单的n阶行列式；掌握克莱姆法则的应用，能用该法则计算二、三元线性方程组。二、重点：两种特殊的行列式：上（下）三角行列式、对角行列式；二、三阶行列式及n阶行列式的计算,三、难点：n阶行列式的定义，元素中含有字母的行列式的计算四、学习要点与能力目标：1）n阶行列式的本质是对n2个
3、数定义了一种运算，其结果是一个数。由克莱姆法则知，方程组的系数行列式是否为零反映了方程组解的不同情形，这是因为行列式的值是否为零取决于行列式中行与行（或列与列）之间两种不同的情况，即后面要讨论的线性相关、线性无关。因而行列式的概念与计算是后面要介绍的矩阵、方程组及n维向量的基础之一。,2）对于行列式性质的证明只须了解它的思路，关键是利用这些性质简化行列式的计算，因此要求熟记行列式的性质和展开法则，并弄清含义及功能。行列式的计算常常因题而异。对于行列式计算的技巧，不要求做过多的探求。3）克莱姆法则是线性方程组理论中的一个重要结论，它的意义在于给出了方程组的解与系数、常数项之间的关系。但克莱姆法则
4、仅适用于方程个数与未知量个数相等的方程组，且要求系数行列式不为零。因而克莱姆法则主要用于理论研究及简单方程组求解。,能力目标：引导学生在计算行列式之前，要首先仔细观察所论行列式，发现其结构上的特点，并能够选择简便方法。培养学生养成在解题中充分利用已有的信息的习惯，以及把知识转化为能力的训练。,（一)书后习题（部分）,12）用行列式性质计算行列式：,12）,15）用行列式的性质证明：,（二)练习题,1)若 是四阶行列式 中前面冠以负号的项,那么 i 与 k 分别等于什么?若是前面冠以正号的项,那么 i 与 k 分别等于什么?,解:前应冠以的符号决定于N(i24k)+N(1432).i 与 k 为
5、1与3或3与1.当i=3,k=1时,N(3241)+N(1432)=7;当i=1,k=3时,N(1243)+N(1432)=4.所以若 前面是负号,则i=3,k=1,若 前面是正号,则i=1,k=3.,2)利用行列式的定义计算4阶行列式:,解：给出的4阶行列式表示4！=24项的代数和，在这些项中除了 外，其他的项至少有一个0元素，因而那些项都是0.在上列4项中,是偶排列,这两项前面是正号,而 是奇排列这两项前面是负号,于是有,3)已知=1,求x=?,解:只有一个非零项,即32x4=24 x,因而24 x=1所以x=1/24.,4)证明,5)解方程,解法二:所给的行列式为n阶行列式,它的展式是x
6、的n1次多项式,因此给定的方程是一元n1次方程.可以看出当x依次等于0,1,2,n 2时,行列式的第一行(列)分别与第二,三,n行(列)相同,因而行列式等于0,而方程最多有n 1个实根,因此,x=0,1,2,n 2恰好是方程的n 1个实根.,6)利用行列式的性质证明下行列式能被13整除：,解:,8）若齐次线性方程组有非零解，求k的值.,解:,（三)补充题,解:给出的行列式是n+1阶行列式,2)证明n阶行列式,证明(方法一)：用数学归纳法 当n=2时,将第一个行列式的第一列(b)加到第二列,新的第二列(b)加到第三列,新的第n 1列(b)加到第n列,于是,(方法二)先按第一行展开,3)计算n阶行列式,在前题计算过程中的第二个行列式称为箭形行列式，它的特点是：主对角线上、第一行、第一列上的元素非零，其余元素均为零，成|形状，在计算箭形行列式时，要利用对角线上的元的某倍加到某个边上，将其化为三角行列式,从而找到最后结果，这个方法称做箭形法.,4),5)下列行列式中不恒等于0的是：,6）计算n阶行列式：,解法一：所给行列式各行的和均一样，将各列加到第一列上，再提取第一列的公因子，得，,解法二：将第一行的1倍加到各行上去，得一箭形行列式：,解法三：用加边法（添加一行一列）构造与原行列式相等的n+1阶行列式,7）若以下齐次方程组有非零解，则a，b应满足什么关系？,
