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1、,对数函数的图像和性质,一.复习对数函数的概念,定义：函数 y=loga x(a0,且a 1)叫做对数函数.,其中 x是自变量,函数定义域是（0,+）。,图 象,性 质,y,x,0,y=1,(0,1),y=ax(a1),y,x,(0,1),y=1,0,y=ax(0a1),定 义 域:,值 域:,恒 过 点：,在 R 上是单调,在 R 上是单调,a1,0a1,R,(0,+),(0,1),即 x=0 时,y=1.,增函数,减函数,指数函数 的图像及性质,当 x 0 时，y 1.当 x 0 时，.0 y 1,当 x 1；当 x 0 时，0 y 1。,对称性：和 的图像关于y轴对称.,.描点画图.,作
2、 和 的图像,.,O,X,Y,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,-1,-2,-3,Y=log2x,Y=log1/2x,将两图放入同一坐标系下观察：,三.对数函数的性质:,现在我们同样利用描点法在同一坐标系下作出 和 的图像，观察图像并 归纳总结性质.,a1,0a1,图像,性质,定义域：值域：R,过点（1，0），即x=1时,y=0,x1时,y00 x1时,y0,00 x1时,y0,在(0,+上是增函数,在(0,+上是减函数,总结其它性质：,（1）y=logax(a0,且a 1)与y=log1/ax(a0,且a 1)的图像关于x轴对称。,（2）对数函数是非奇非偶函数。,考虑：根据作出
3、的图像，还能得到 其他性质吗？,刚才利用描点法作出了 和 的图像.思考：还有其他方法可以作出它们的 图像吗？,我们现在在同一坐标系下作出，和，的图像，并观察分析它们之间的关系.,X,Y,O,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,7,Y=log2x,Y=X,Y=2x,-1,-1,-2,从图上可以看出：点(0,1)与点(1,0)关于直线y=x对称，点(-1,)与点(,-1)点关于直线y=x对称.则 上的点p(a,b)与 上的点(b,a)关于直线y=x对称.,并且函数 和 互为反函数，由此，我们总结出：,.利用对称性画图.,因为指数函数y=ax(a0,且a 1)与对数函数,y=logax(a0
4、,且a 1)互为反函数，所以它们 的图象关于直线y=x对称。,则：上的点p(a,b)关于y=x的对称点Q(b,a)总在 上.故利用对称点可作出 的图像.,例1求下列函数的定义域：,（1）,（2）,解:,解:,由,得,函数,的定义域是,由,得,函数,的定义域是,（3）,解:,由,得,函数,的定义域是,应用：,和x0,且x 1,例2 比较下列各组数中两个值的大小：log 23.4,log 28.5 log 0.31.8,log 0.32.7 log a5.1,log a5.9(a0,a1),解:考察对数函数 y=log 2x,所以它在(0,+)上是增函数,于是,log 23.4log 28.5,考
5、察对数函数 y=log 0.3 x,因为它的底数为0.3,即00.31,所以它在(0,+)上是减函数,于是,log 0.31.8log 0.32.7,因为它的底数21,log a5.1,log a5.9(a0,a1),(对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论),解:当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是增函数,于是,当0a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,于是,log a5.1log a5.9,log a5.1log a5.9,练习:比较下列各题中两个值的大小:log106 log108 log
6、0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.51.6 log1.51.4,例3 比较下列各组中两个值的大小:log 67,log 7 6;log 3,log 2 0.8.,解:log67log661,log20.8log210,说明:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当“底真”不同不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一 个“桥梁”(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小.,提示:log aa=1,提示:log a1=0,log76log771,log67log76,log3log310,log3log20.8,对数函数y=log a x(a0,a1)
7、,指数函数y=ax(a0,a1),(4)a1时,x0,y1,01;x0,0y1,(4)a1时,01,y0,00;x1,y0,(5)a1时,在R上是增函数；0a1时,在R上是减函数,(5)a1时,在(0,+)是增函数；0a1时,在(0,+)是减函数,(3)过点(0,1),即x=0 时,y=1,(3)过点(1,0),即x=1 时,y=0,(2)值域：(0,+),(1)定义域：R,(1)定义域：(0,+),(2)值域：R,y=ax(a1),y=ax(0a1),x,y,o,1,y=logax(a1),y=logax(0a1),x,y,o,1,指数函数、对数函数的图象和性质,（2）看见函数式想图像，结合
8、图像记性质。,(1)类比记忆指数函数和对数函数。,小结,思考：,比较大小：（1）（2）,提示：此种比较大小属于“同真”.,例4、设 0 x1，a0 且 a1，试比较|log a(1x)|与|log a(1+x)|的大小。,|log a(1x)|log a(1+x)|,0 x1,01x11+x 2,即|log a(1x)|log a(1+x)|0,|log a(1x)|log a(1+x)|,解：,当0a1时,则有,=log a(1x)+log a(1+x),=log a(1x)(1+x),例4、设 0 x1，a0 且 a1，试比较|log a(1x)|与|log a(1+x)|的大小。,|lo
9、g a(1x)|log a(1+x)|,0 x1,01x11+x 2,即|log a(1x)|log a(1+x)|0,|log a(1x)|log a(1+x)|,解：,当a1时,则有,=log a(1x)log a(1+x),=log a(1x)(1+x),例4、设 0 x1，a0 且 a1，试比较|log a(1x)|与|log a(1+x)|的大小。,|log a(1x)|log a(1+x)|,当a1时,有,当0a1时,有,|log a(1x)|log a(1+x)|,|log a(1x)|log a(1+x)|.,综上所述,对于0 x1，a0 且 a1的一切值总有,从以上分类讨论,
10、得,例5、求函数 y=log 2(1x 2)的值域和单调区间。,解：1x 2 0,且 1x 2 1,即 0 1x 2 1,y 0,故 函数的值域为(，0),由于此函数的定义域为(1,1),且 y=log 2 t 在(0,1)上是增函数,又 t=1x 2(1 x1)的单调递增区间为(1，0,单调递减区间为 0，1),故此函数的单调递增区间为(1，0,单调递减区间为 0，1),例6、已知 f(x)=lg(a x b x)(a1b0)（1）求 f(x)的定义域；,解：由题 a x b x 0 得 a x b x,a1b0,x 0,故 f(x)的定义域为(0,+),例6、已知 f(x)=lg(a x b x)(a1b0),(2)判断 f(x)的单调性。,解：设 0 x 1x 2+,则 f(x 1)f(x 2)=,a1b0,即 f(x 1)f(x 2)0,f(x 1)f(x 2),故 f(x)在(0,+)上是增函数,例6、已知 f(x)=lg(a x b x)(a1b0),（3）当 a、b 满足什么条件时，f(x)在区间 1,+)上恒 为正。,解：f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)min=f(1)=lg(a b),只要使 lg(a b)0就可以了,故满足 a b 1,要使f(x)在区间 1,+)上恒为正。,作业,习题3-2 1,2,3,4,
