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1、第2章 电阻电路的等效变换,2.1 内容提要 2.2 重点、难点 2.3 典型例题 2.4 习题解答,2.1 内容提要1.等效二端网络单口网络：若N1与外电路内部变量之间无控制和被控的关系，则称 N1为单口网络(二端网络)。二端电阻网络：由电阻、受控源、独立源构成，不含储能元件的网络。等效单口网络：若网络N与N的VAR相同，则称N和N网络为等效单口网络。不含独立源单口线性电阻网络的等效电阻(输入电阻)为(如图2-1所示)：,图 2-1,2.电压源、电流源串、并联电路的等效变换电压源的串联：电压源串联的等效如图2-2所示，等效电压的计算公式为us=us1+us2+usk,图 2-2,电压源的并联
2、：电压值相等的电压源可作极性一致的并联，电压值不相等的电压源不允许并联。电流源的并联：电流源并联的等效如图2-3所示，等效电流的计算公式为is=is1+is2+isk 电流源的串联：电流值相等的电流源可作方向相同的串联，电流值不相等的电流源不允许串联。,图 2-3,3.实际电源的两种模型及等效变换戴维南模型如图2-4所示。,图 2-4,诺顿模型如图2-5所示。,图 2-5,两种模型的等效互换关系如图2-6所示。,图 2-6,4.电阻星形连接与三角形连接的等效变换(1)等效三端网络：若两个三端网络的端口VAR完全相同，则称为等效三端网络。(2)电阻的星形(T形、Y形)连接如图2-7所示。,图 2
3、-7,(3)电阻的三角形(形、形)连接如图2-8所示。,图 2-8,(4)由三角形连接求等效星形连接的公式为 若R12=R23=R31=R，则R1=R2=R3=RT，且RT=(1/3)R,(5)由星形连接求等效三角形连接的公式为 若R1=R2=R3=RT，则R12=R23=R31=R，且R=3RT。,2.2 重点、难点1.单口网络伏安特性的求法(1)将单口网络从电路中分离出来，标好其端口电流、电压的参考方向。(2)假定端电流i已知(相当于在端口接一电流源)，求出u=f(i)。或者，假定端电压u已知(相当于在端口接一电压源)，求出i=g(u)。(3)等效时端口的电压、电流的参考方向对应相同且方程
4、相等。2.电压源与单口网络并联的等效电压源与单口网络并联的等效如图2-9所示。注意：N1的等效网络不是理想电压源。,图 2-9,3.电流源与单口网络串联的等效电流源与单口网络串联的等效如图2-10所示。注意：N1的等效网络不是理想电流源。,图 2-10,4.实际电源的两种模型等效变换实际电源两种模型等效时要注意：(1)电源的参考方向；(2)等效是指对外部电路而言；(3)理想电源间不可变换。,5.含受控源电路的等效变换在分析含受控源的电路时，受控电压源与受控电流源之间也可以像实际电源的两种模型一样进行等效，但要注意变换过程中不能让控制变量消失。6.电阻的星形连接与三角形连接的等效变换星形连接与三
5、角形连接之间相互等效变换时要先把两种连接的端口标号，注意对应端口的等效关系。,2.3 典型例题【例2-1】电路如图2-11所示，已知us=100V，R1=2k，R3=4 k。试求在(1)R2=8 k;(2)R2=(R2处于开路);(3)R2=0(R2处于短路)三种情况下的电压u3和电流i2、i3的值。,图 2-11,解(1)当R2=8 k时，有,(2)当R2=时，有(3)当R2=0时，有,【解题指南与点评】本题中虽然R2变化，但是电压u3和电流i3始终不变，这是因为R1与R2串联支路与电压us并联，该支路(R1与R2串联支路)对外电路(除us、R1与R2之外的电路)不起作用，但是该支路的电流i
6、2随R2变化而变化。【例2-2】电路如图2-12所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：(1)电压u2和电流i2；(2)若电阻R1增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？,图 2-12,解(1)应用电源的等效变换可将图2-12等效为如图2-13所示的电路，可得(2)由图2-13可知，若R1增大，则R1两端电压u1增大。应用KVL可得 若is保持不变，则u2不变，又由于us不变，由上式可知：随着u1增大而增大。除了与u1之外，其他支路的电压与电流仍保持不变。,图 2-13,【解题指南与点评】求解第一步时，可以把R2以左的电路等效成一个电流源，因为任何与电流源串联的元件，对外电
7、路都不起作用；与us并联的电阻R2对外电路也不起作用。【例2-3】在图2-14(a)电路中，us1=24 V，us2=6 V，R1=12，R2=6，R3=2。图2-14(b)所示为其经电源变换后的等效电路。(1)求等效电路的is和R;(2)根据等效电路求R3中的电流和消耗功率;(3)分别在图2-14(a)、图2-14(b)中求出R1、R2及R3消耗的功率;(4)us1、us2发出的功率是否等于is发出的功率？R1、R2消耗的功率是否等于R消耗的功率？为什么？,解(1)应用电源等效变换，把图2-14(a)等效成图2-14(b),可得(2)由图2-14(b)可得流经R3的电流为 则R3的消耗功率为
8、,(3)在图2-14(a)中应用KCL、KVL，可得可得,所以有,(4)可以求得所以有即图2-14(a)中电压源us1、us2发出的功率并不等于图2-14(b)中电流源is发出的功率。同理 即图2-14(a)中电阻R1、R2的消耗功率不等于图2-14(b)中电阻R的消耗功率。,发出,发出,发出,发出,发出,发出,【解题指南与点评】本题考点是电路等效变换概念的应用，通过该题目可以证明等效变换电路的特性。电压和电流不变的支路仅限于等效电路之外，即“对外等效”，但对内不等效。【例2-4】对图2-15所示的电桥电路，应用Y-等效变换求：(1)支路电压u;(2)电压uab。,图 2-15,解 利用星形、
9、三角形电路的等效变换，得到如图2-16所示的等效电路，则图2-16所示电路右半部分的等效电阻Rab为 各节点之间电压为则 u=10-5=5 V,图 2-16,【解题指南与点评】本题要求应用Y-等效变换求解，既可以把图中的Y形连接转化为形，也可以把形转化为Y形。但是由于需要解跨在a、b之间的电压u，因此最好采取形转化为Y形的方法，如图2-16所示；否则若采用Y形转化为形变换，点a或b就会在电路中消失，无法求解电压u。【例2-5】在图2-17中，已知电路参数为：us1=20 V，us5=30 V，is2=8 A，is4=17 A，R1=5，R3=10，R5=10，利用电源的等效变换求图中的电压ua
10、b。,图 2-17,解 图2-17的等效过程如图2-18所示。由此可知,图 2-18,【解题指南与点评】利用电源的等效变换求解等效电路时应注意两点：在等效过程中，电压源与电流源的参考方向不能搞错；需要求解的变量应保持在电路中(如该题中的点a与点b不能因变换而消失，否则无法求解uab)。【例2-6】利用电源的等效变换，求图2-19所示电路的电流i。,图 2-19,解 图2-19所示电路的电源等效过程如图2-20所示。由等效电路图可得【解题指南与点评】在解题过程中应保留10 电阻上的电流i，所以该电阻不能与其他电阻合并等效。,图 2-20,【例2-7】图2-21所示电路中，已知R1=R2=2，R3
11、=R4=1，利用电源的等效变换，求电压比。解 原电路图可等效为图2-22，应用KVL方程，得可得，即。【解题指南与点评】在等效变换过程中，可以把受控源当作独立源来处理。但是应注意：在变换过程中应保持受控源的控制量u3以及输出电压u0的存在!,图 2-21,图 2-22,【例2-8】图2-23所示电路中，R1=R3=R4，R2=2R1，电流控制电压源的电压uC=4R1i1，利用电源等效变换求电压。解 原电路的等效过程如图2-24所示。根据最简等效电路图，列写KVL方程得us-2R1i1=2R1i1可得【解题指南与点评】由于i1是受控源的控制量，因此在等效变换过程中，为了保持控制量，该支路不能进行
12、等效变换。,图 2-23,图 2-24,【例2-9】试分别求图2-25(a)、(b)、(c)、(d)所示电路ab端的等效电阻值。解(1)对于图2-25(a)，利用电阻的串、并联等效变换可求解：Rab=1.5+(1+2)(22)+(22)+(22)=3,图 2-25,(2)将图2-25(b)简化为图2-26，可见这是一个平衡对称的电阻网络，设想在b端加一个电压源，必然得出c、e、f三点等电位，可视为短路。同理可得d、g、h三点也等电位，也可视为短路。由此可得等效电阻为(3)图2-25(c)中，由于，因此桥路平衡，即c、d等电位。R6上没有电流流过，相当于开路(同样可以看做短路)。则：Rab=R3
13、(R1+R4)(R2+R5)=0.5,图 2-26,(4)将图2-25(d)中的1、1、2 组成的Y形及2、2、1 组成的Y形转化为对应的形电阻电路2.5、5、5 与8、4、4，如图2-27所示(Y形转化为形后，节点c、d消失)。然后把图2-27简化为图2-28，可求得：Rab=(2.58)+(542)(54)=1.269,图 2-27,图 2-28,【解题指南与点评】对于几何结构完全对称、含有Y形和形接法的电阻电路，不必马上进行Y-等效变换，而应该首先找出等电位点。在等效过程中可以把这些等电位点短接在一起，形成一个点，从而可以大大简化电路的等效变换。【例2-10】图2-29所示电路表示一无限
14、阶梯网络，试求其端口的等效电阻Rab。,图 2-29,解 将无限网络看成是由无限多个梯形网组成的，每个梯形网如图2-30中的虚线框所示，去掉第一个梯形网，从cd端看进去仍是一个无限网络，即Rab=Rcd。做出图2-29的等效电路，如图2-31所示，可得如下关系式：解得Rab=Rcd=3.23【解题指南与点评】利用无限多级重复出现的现象，运用“即使去掉其中一部分还剩全部”的推理逻辑关系列方程求解，这又是一种求解等效电阻电路的方法。,图 2-30,图 3-31,【例2-11】求图2-32所示电路a、b两端的等效电阻Rab，并画出其等效电路。,图 2-32,解 该端口含受控源，所以用电压法(即外加电
15、压源的方法)求Rab，如图2-33 所示，应用KVL、KCL，得求解方程可得 等效电路如图2-34所示。【解题指南与点评】含受控源但不含独立源的电阻电路，可以用一个等效电阻来等效。该等效电阻可以用电压法(即外加电压源法)或电流法(即外加电流源法)求解。,图 2-33,图 2-34,【例2-12】利用电源的等效变换、电阻电路的-Y等效变换，把图2-35所示的形连接电路等效为Y形连接电路。解 具体等效过程如图2-36所示。【解题指南与点评】本题是等效变换的综合题目，既有电源电路的等效变换，又有电阻电路-Y等效变换，还用到了电流源转移等。,图 2-35,图 2-36,【例2-13】求图2-37(a)
16、所示电路的等效电阻Rab。,图 2-37,解 在计算由电阻和受控源组成的无源二端口网络的等效电阻时,常采用如下两种方法。方法一：列写一端口网络端口处伏安关系式，得等效电阻 对图2-37(a)所示电路，有u=2(i-i1)+i1而 得,由此求得等效电阻当0；当10时，Rab0)组成的无源一端口网络的等效电阻永远不会小于零值，但对于由电阻和受控源组成的无源二端口网络的等效电阻却有可能小于零值。,方法二：外加电源法。可在一端口网络的端口处外加电压源，并令us=1 V，如图2-37(b)所示，然后计算电流i，求得等效电阻。也可在一端口网络的端口处外加电流源is，并令is=1 A，如图2-37(c)所示
17、，然后计算电压u，求得等效电阻。,对图2-37(b)所示电路，有，列KVL方程，有 2(i-i1)+i1=1 V联立求解上述两式，得故等效电阻,或对图2-37(c)所示电路，有，列KVL方程，有2(1-i1)+i1=u联立求解上述两式，得故等效电阻【解题指南与点评】本题以受控源组成的电路为例，说明了二端口网络等效电阻的两种求法，从中也可以理解二端口网络伏安特性的求法。,2.4 习题解答2-1 求图2-38所示二端口电路的端口伏安特性。解 u=5i+(i+3)3=9+8i,图 2-38,2-2 已知某两个二端电路的端口电压和电流取为非关联参考方向，它们的端口伏安特性分别为u=12-5i，i=-2
18、-8u，求它们的等效二端电路。解 u=12-5i的等效二端电路如图2-39(a)所示；i=-2-8u的等效二端电路如图2-39(b)所示。,图 2-39,2-3 求图2-40所示电路中从电压源看进去的等效电阻和电流i。,图 2-40,解 等效电阻原电路可等效为如图2-41所示，因而有,图 2-41,2-4 图2-42所示电路中，已知15 电阻吸收的功率是15W，求R。,图 2-42,解 原电路可等效为如图2-43，因为p=15=i215，所以i=1 A，u=15 V。根据分流公式，有所以,图 2-43,2-5 求图2-44所示电路的i1和i2。,图 2-44,解 原电路可等效为如图2-45所示
19、，最终化简为,总,总,图 2-45,2-6 化简图2-46所示各二端电路。,图 2-46,解(a)电路等效为如图2-47所示。,图 2-47,(b)电路等效为如图2-48所示。,图 2-48,(c)电路等效为如图2-49所示。,图 2-49,(d)电路等效为如图2-50所示。,图 2-50,2-7 求图2-51所示电路中的u1、u2和i。解 原电路等效为如图2-52所示。对此电路列回路方程，有2I-28+4I+6I-8=0 I=3 Au2=6I=36=18 V再对照原电路，根据节点定律，有i=7-I=7-3=4 Au1=2(4+i-7)=2(8-7)=2 V,图 2-51,图 2-52,2-8
20、 求图题2-53所示电路中的u1。解 原电路可等效为如图2-54所示，从而有,图 2-53,图 2-54,2-9 利用电源变换求图2-55所示电路中的i。解 原电路可等效为如图2-56所示，从而有,图 2-55,图 2-56,2-10 利用电源变换求图2-57所示电路中的u1。,图 2-57,解 原电路可等效为如图2-58所示，从而有得,图 2-58,2-11 求图2-59所示电路中的电流io。,图 2-59,解 原电路可等效为如图2-60所示，从而可列如下回路方程：15io+50+10io-100=0 io=2 A,图 2-60,2-12 电路如图2-61所示，求：(1)电路中的uo；(2)
21、300 V电压源产生的功率；(3)10 A电流源产生的功率。,图 2-61,解(1)原电路等效为如图2-62所示，列回路方程：6i-300+10i+24i+8i+60=0从而得i=5 Auo=24i=120 V(2)对照于原电路，40 电阻上的电流为，方向向左。根据节点定律，得300 V电源上的电流为I+7.5=12.5 A，从而300 V电压源产生功率为30012.5=3750 W,图 2-62,(3)对6 电阻上的电压列回路方程：u6=-300+10I+24I+8I=-300+54I=-90 V在小回路中列回路方程：u10A-u6+410=0u10A=-40-90=-130 Vp10 A=
22、u10A10=-13010=-1300 W所以10 A电流源产生的功率为1300 W。,2-13 求图2-63所示电路中的电流iR。解 原电路可等效为如图2-64所示，从而有,图 2-63,图 2-64,2-14 求图2-65所示二端电路的端口伏安特性。,图 2-65,图 2-66,解 原电路可等效为如图2-66所示，从而有u=3i-6i1+4i1(1)i=2i1(2)(1)、(2)联立，得u=2i。,2-15 图2-67所示电路中，R1=1.5，R2=2，求电压u。,图 2-67,解 原电路等效为如图2-68所示，从而有(1)、(2)联立，有从而得u=1 V,(1),(2),图 2-68,2-16 求图2-69(a)、(b)所示二端电路的等效电阻Rab。,图 2-69,解(a)电路等效为如图2-70所示，从而有,最终化简为如图2-71所示的电路。据此电路可容易地求出Rab的值：,图 2-70,图 2-71,(b)电路因为两组R1R2构成电桥，而故连接两个R1R2中间节点的R2支路上的电流为0。从而原电路等效为如图2-72所示，因而有,图 2-72,
