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1、工程力学,Engineering Mechanics,Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University,空间汇交力系,空间力偶系,第五章 空间任意力系,5-1 空间任意力系的简化,空间任意力系,1.空间汇交力系的合成,合力大小,合力方向,力系主矢,2.空间力偶系的合成,合力偶大小,力系对简化中心的主矩,合力偶方向,任意力系,向任一点简化,力,力偶,力系主矢,力系对简化中心的主矩,一、空间任意力系平衡条件,空间力系平衡的充分与必要条件：力系的主矢和
2、力系对任一点的主矩分别等于零。,5-2 空间任意力系的平衡条件,空间力系平衡的充分与必要条件：各力在直角坐标系中各坐标轴上投影的代数分别等于零，各力对三轴之矩的代数和分别等于零。,二、空间平行力系的平衡条件,例：在曲轴上受到垂直于轴颈并与铅垂线成75o 角的连杆压力F=12kN。飞轮重P=4.2kN，略去曲轴重量，试求轴承A 和B 的约束力及保持曲轴平衡而需加于飞轮C 上的力偶矩M。,解：以曲轴和飞轮构成的系统为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,例：图示飞机的三个轮子和飞机重心的位置，设三个轮子置于地坪上。已知飞机重W=480kN，xC=-0.02m，yC=0.2m，试求
3、三个轮子对地坪的压力。,解：以飞机为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,例：镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fx=750N，径向力Fy=1500N 和轴向力Fz=5000N的作用。刀尖B 的坐标 x=200mm，y=75mm，z=0。试求镗刀根部约束力的各分量。,解：以刀杆为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,例：皮带鼓轮提升机构如图所示，设其处于平衡状态。两皮带拉力的大小比例为F1=2F2，已知鼓轮半径R=25cm，皮带轮半r=10cm 径，重物P=20kN，皮带轮与鼓轮绳的夹角=20o，鼓轮重W=10kN，试求D、B 两处的约束力。,解：以鼓轮、轴
4、、皮带轮构成的系统为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,桁架结构具有使用材料经济合理、结构轻的特点，在工程上主要应用于大跨度结构，比如体育馆、铁路桥梁等。,第六章 静力学专题桁架重心,6-1 桁架,一、桁架,桁架杆件都是二力直杆,节点为光滑铰链连接,外力作用在桁架平面内，且作用在节点上,桁架中各杆件都是直杆，自重不计,桁架假设,桁架杆件轴向拉压杆，受力沿杆件轴线,一般假设杆件是受拉杆，杆件对节点也都是拉力，在节点的受力图中以节点为中心沿杆轴线背离节点，若计算结果为正，表示杆件受拉，反之表示杆件受压。,二、节点法,以节点为研究对象，每个节点作用有杆件约束力、外载荷、支座约束力
5、组成的平面汇交力系,建立两个独立的平衡方程,节点必须从不多于两个构件的节点开始计算，每次选的节点未知内力的杆件不能多于两个,例：试用节点法求图所示平面桁架各杆件的内力。,解：求支座约束力。以整个桁架为研究对象，受力图和坐标系如图所示，建立平衡方程,解得：,解得：,以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,以节点H 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,以节点G 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,以节点E 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,由于桁架结构及载荷对称，其它各杆件内力由对称性可得。,例：图示一悬臂式平
6、面桁架，载荷及尺寸如图所示。试求各杆内力。,解：以节点G 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,解得：,解得：,以节点H 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,以节点E 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,以节点C 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,以节点D 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,解得：,以节点A 为研究对象，受力图和坐标系如图所示,建立平衡方程,过计算内力的杆件做截面，任取一半为研究对象，作用于该部分的力构成平面任意力系,三、截面法,建立三个独立的平衡方程,截取未知力杆件数目不能多于三根
7、，且将系统完全分开,解：求支座约束力。以整个桁架为研究对象，受力图和坐标系如图所示，建立平衡方程,解得：,例：试求图示桁架中1、2、3 杆的内力。,过1、2、3 杆作截面，取左半部分为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,一、重心坐标的一般公式,6-2 重心,1.均质物体,2.均质等厚物体,3.均质等截面细长杆,二、组合形体的重心,将组合形体分解为若干简单几何形体，应用重心坐标公式求重心坐标。,例：均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。,解：将截面分成三部分，坐标系如图所示,第一部分：,第二部分：,第三部分：,将截面补成一矩形，分成两部分，坐标系如图所示,研究构件在外力
8、作用下的变形、受力与破坏或失效的规律，为经济合理设计构件提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。,一、材料力学的任务,第七章 绪论,7-1 材料力学的研究对象,二、材料力学的研究对象,1.杆件,长度远大于横截面尺寸的构件。,2.杆件的几何特征,轴线,垂直于杆长方向的截面,横截面形心的连线,横截面,杆件,直杆,曲杆,等截面杆,变截面杆,材料力学基本理论基于等直杆建立，可近似用于缓变杆、阶梯杆、小曲率曲杆。,轴线,横截面,横截面相等,轴线是直线,等直杆,一、连续性假设,7-2 材料力学的基本假设,假设在构件所占有的空间无空隙地充满了物质，即材料是密实的。,材料力学研究整个构件的强度、刚度、
9、稳定性,空隙,从宏观的角度认为材料是连续的,假设材料的力学性能与其在构件中的位置无关，即是均匀的。,构件内部任何部位所切取的微小单元体具有与构件完全相同的性质,材料基本组织单元的尺寸远小于相应宏观构件的尺寸。材料力学研究的是材料宏观上的力学性质，是材料内部各处力学行为的统计值,微观两处力学性质不一样,通过试样所测的力学能适用于构件内的任何部位,二、均匀性假设,假设材料在各个方向具有相同力学性能，即各向同性。,微观上单一晶粒不同方向上具有不同的力学性质,晶粒杂乱无章排列表现出来的宏观的力学性质没有明显的方向性,顺纹、横纹的力学性质相差很大，属各向异性材料,三、各向同性假设,材料力学考察变形体的平
10、衡问题，一般不考虑变形的影响，可以应用刚体静力学的分析方法，以为变形前的尺寸、位置计算力。,物体在外力作用下所产生的变形远小于物体本身的几何尺寸。,杆件变形非常小,四、小变形假设,7-3 外力与内力,一、外力,1.分布力与集中力,2.静载荷与动载荷,连续分布在构件表面某一范围的力。,集中力,静载荷,随时间显著变化或使构件产生明显加速度的载荷。,分布力,分布力的作用范围远小于构件表面面积，则分布力简化为作用一点处的力。,随时间变化极缓慢或不变化的载荷。,动载荷,二、内力与截面法,物体受外力变形,物体内部因相对位置改变引起相互作用力的改变,外力内力,内力达到一定值,材料失效,内力,内力:压力,无内
11、力,1.内力,2.截面法,分布内力系,平衡方程,方向轴力,方向轴向拉压变形,方向剪力,方向剪切变形,方向剪力,方向剪切变形,扭转变形,平面内的扭矩,平面内的弯矩,平面弯曲变形,平面内的弯矩,平面弯曲变形,截面有六个内力分量,材料力学中是同一个截面的内力,静力学是作用力与反作用力关系，等值反向,一、应力的概念,面积上的平均应力,点的全应力,应力必须指明某点在某方向的应力,分布内力系,7-4 正应力与切应力,单位面积上的内力分布密度,一、应力的概念,面积上的平均应力,点的全应力,应力必须指明某点在某方向的应力,应力的量纲为力/长度2，单位为Pa，工程上常用应力单位有MPa 和GPa。,单位面积上的
12、内力分布密度,全应力沿截面法向的应力分量。,正应力以拉应力为正，压应力为负。,箭头背离研究对象,箭头指向研究对象,拉应力,压应力,二、正应力,全应力沿截面切向的应力分量。,切应力以绕研究对象顺时针转为正，逆时针转为负。,研究对象内取一点，判断切应力对该点之矩的转向。,三、切应力,点沿x方向的正应变,正应变以伸长为正，缩短为负。,点在 xy 平面内的切应变,切应变以使直角变小的切应变为正，使直角变大的切应变为负。,7-5 正应变与切应变,二、切应变,一、正应变,一、拉伸或压缩,1.受力特点,杆件受一对大小相等、方向相反、沿杆件轴线方向的力的作用。,2.变形特点,杆件长度方向发生伸长或缩短。,7-
13、7 杆件变形的基本形式,二、剪切,杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近的横向力的作用。,受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。,为什么两个横向力相距很近?,两个横向力相距比较远时，此部位有比较大的弯矩，主要变形为弯曲变形。,1.受力特点,2.变形特点,三、扭转,杆件受到一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴的力偶作用。,杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。,圆轴表面母线倾斜角,圆轴两横截面相对扭转角度,1.受力特点,2.变形特点,四、弯曲,杆件受到垂直于杆轴线的横向力的作用或受到一对大小相等、方向相反、作用在杆的纵向对称面内的力偶作用。,杆件的轴线由直线变成曲
14、线。,1.受力特点,2.变形特点,第八章 轴向拉伸与压缩,8-1 引言,杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。,杆件沿轴线方向发生伸长或缩短。,受力特点,变形特点,8-2 轴力与轴力图,一、轴力,拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。,轴力正负规定,二、轴力图,轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。,例：一等直杆受力情况如图所示。试作杆的轴力图。,解：求约束力,解得：,截面法计算各段轴力,AB 段：,BC 段：,解得：,解得：,CD 段：,DE 段：,解得：,解得：,绘制轴力图,8-3 拉压杆的应力与圣维南原理,一、拉压杆横截面
15、上的应力,纵线伸长相等，横线保持与纵线垂直。,平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,两横截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。,材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同,轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布,横截面上有正应力无切应力,二、拉压杆斜截面上的应力,斜截面上总应力,斜截面正应力,斜截面切应力,斜截面正应力,斜截面切应力,0：横截面上的正应力；：横截面外法线转到斜截面外法线所转的角度，逆时针转为正，反之为负。,正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对研究对象内任意点产生顺时针转的矩为正，逆时针转的矩为负。,铸铁拉伸的
16、断裂面为横截面,低碳钢由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸过程中出现 45o 滑移线,1特殊截面应力的特点,2两个互相垂直截面的切应力关系,切应力互等定律,过受力物体任一点取互相垂直的两个截面上的切应力等值反向。,例：图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积 A=400mm2，载荷F=50kN，试求横截面及斜截面m-m上的应力。,解：由题可得,斜截面上的正应力,斜截面上的切应力,横截面上的正应力,三、圣维南原理,外力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不大于横向尺寸的范围内受到影响。,8-4 材料在拉伸与压 缩时的力学性能,一、材料的力学性能概述,1.材料的力学性能,材料从受力开始到破坏过程中所表现出
17、的在变形和破坏等方面的特性。,2.试验试件,压缩试件,圆形截面试件,矩形截面试件,圆形截面试件,方形截面试件,拉伸试验试件,3.受力与变形曲线,二、低碳钢拉伸时的力学性能,1.弹性阶段,弹性变形,胡克定律,载荷卸除后能完全恢复的变形。,当 时，与 成正比关系。,，与 不成正比关系。,：比例极限,：弹性极限,2.屈服阶段,屈服（流动）现象,塑性变形,试件表面磨光，屈服阶段试件表面出现45o 的滑移线。,应力基本不变，应变显著增加的现象。,载荷卸除后不能恢复的变形。,：屈服极限,3.强化阶段,强化,经过屈服阶段后，材料恢复抵抗变形的能力，应力增大应变增大。,强度极限,颈缩现象,过强化阶段最高点后，
18、试件某一局部范围内横向尺寸急剧缩小。,试件断口呈杯口状，材料呈颗粒状。,4.局部变形阶段（颈缩阶段）,断口杯口状，拉伸屈服阶段受剪破坏,断口中间材料呈颗粒状，塑性材料三向受拉脆性断裂破坏,低碳钢抗剪能力比抗拉能力差,5.材料的塑性,伸长率,截面收缩率,伸长率和截面收缩率越大表明材料的塑性越好，一般认为 为塑性材料，为脆性材料。,6.卸载定律及冷作硬化,卸载定律,在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。,冷作硬化,冷作硬化的时效性,材料塑性变形后卸载，重新加载，材料的比例极限提高，塑性变形和伸长率降低的现象。,材料塑性变形后卸载，过段时间重新加载，材料的比例极限、强度极限进一步提高，塑性变形和伸
19、长率进一步降低的现象。,三、其他塑性材料拉伸时的力学性能,名义屈服极限,对于没有明显屈服点的塑性材料，产生0.2%（0.002）塑性应变时的应力。,四、脆性材料拉伸时的力学性能,1.从加载至拉断，变形很小，几乎无塑性变形，断口为试件横截面，材料呈颗粒状，面积变化不大，为脆性断裂，以强度极限作为材料的强度指标。,断口为横截面，最大拉应力引起破坏,断口材料呈颗粒状，铸铁单向受拉脆性断裂破坏,2.铸铁的拉伸应力-应变曲线是微弯曲线，无直线阶段，一般取曲线的割线代替曲线的开始部分，以割线的斜率作为材料的弹性模量。,五、材料在压缩时的力学性能,1.低碳钢在压缩时的力学性能,在屈服阶段以前，压缩曲线与拉伸
20、曲线基本重合。,进入强化阶段后试件压缩时应力的增长率随应变的增加而越来越大，不存在抗压强度极限。,2.铸铁在压缩时的力学性能,铸铁的压缩曲线与拉伸曲线相似，线形关系不明显，但是抗压强度比抗拉强度高 4 5 倍。,铸铁试件压缩破坏时，断面的法线与轴线大致成 55o 65o 的倾角，材料呈片状。,断口材料呈片状，最大切应力引起的剪切破坏,断口的法线与轴线成55o65o,铸铁抗剪能力比抗压能力差,8-5 应力集中概念,一、应力集中,截面突变处附近区域，应力出现较大峰值的现象。,应力集中系数,二、应力集中对构件强度的影响,1.脆性材料,2.塑性材料,应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不大，因为m
21、ax 达到屈服极限，应力不再增加，未达到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布趋于平均。,max 达到强度极限，此位置开裂，所以脆性材料构件必须考虑应力集中的影响。,在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料的影响。,8-6 失效、许用应力与强度条件,一、失效与许用应力,1.极限应力,构件失效前所能承受的最大应力。,塑性材料,脆性材料,2.许用应力,对于一定材料制成的构件，其工作应力的最大容许值。,二、强度条件,材料强度,截面面积,截面轴力,强度校核,截面设计,许用载荷确定,例：图所示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为钢质。钢的许用应力1=160MPa，铜的许用应力2=12
22、0MPa，AB 段横截面面积1000mm2,BC 段的横截面面积是AB 段的一半。外力F=60kN，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。,解：求杆的轴力，作轴力图,AD 段：,DB段：,解得：,解得：,强度校核,所以杆件强度满足要求,确定危险截面,经分析危险截面在AD 段,BC 段：,解得：,例：图所示吊环由斜杆AB、AC 与横梁BC 组成，已知=20o，吊环承受的最大吊重为F=500kN，许用应力=120MPa。试求斜杆的直径。,解：以节点 A 为研究对象，受力图及坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,例：图所示桁架，已知两杆的横截面面积均为A=100mm2，许用拉应力 t=200MPa，
23、许用压应力c=150MPa。试求载荷的最大许用值。,解：求1、2杆的轴力,以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如图。建立平衡方程,解得：,(拉),(压),确定载荷的最大许用值,1杆强度条件,2杆强度条件,所以载荷F 的最大许用值为14.14kN,(拉),(压),8-7 胡克定律与拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形与胡克定律,1.纵向变形,2.胡克定律,纵向线应变,在比例极限内，正应力与正应变成正比。,二、拉压杆的横向变形与泊松比,1.横向变形,2.泊松比,横向线应变,EA：抗拉压刚度,FN、A 是变量问题,例：图所示钢螺栓，内径d1=15.3mm，被连接部分的总长度l=54mm，拧紧时螺栓AB
24、段的伸长l=0.04mm，钢的弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3。试计算螺栓横截面上的正应力及螺栓的横向变形。,解：螺栓的轴向正应变,螺栓横截面上的正应力,螺栓的横向正应变,螺栓的横向变形,例：图所示圆截面杆，已知F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa。为保证构件正常工作，要求其总伸长不超过l=0.10mm。试确定杆的直径 d。,解：,AB 段的轴力,BC 段的轴力,杆件总长度改变量,例：求图所示圆锥杆总伸长。设杆长为l，最小直径为d，最大直径为D，拉力为F。,解：以杆件左端为x 轴原点，距原点距离为x 的横截面直径,距原点距离为 x 的横截面面积,距原点距离为x 微小杆段
25、伸长量,总伸长量为,例：图所示桁架，在节点A 处作用铅垂载荷F=10kN，已知1 杆用钢制成，弹性模量E1=200GPa，横截面面积A1=100mm2，杆长l1=1m，2 杆用硬铝制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积A2=250mm2，杆长l2=0.707m。试求节点A的位移。,解：以节点A 为研究对象，建立平衡方程,解得：,(拉),(压),计算杆1、2 的变形量,节点A 的水平位移,节点A 的垂直位移,(拉),(压),8-8 简单拉压静不定问题,未知力数目多余独立平衡方程数目，未知力不能由平衡方程全部求出。,一、静不定问题的解法,变形协调方程（变形几何关系）,未知力数目等于独立平衡方程
26、数目，未知力可由平衡方程全部求出。,静不定问题,静定问题,几何关系法,静力方程（静力关系）,物理方程（物理关系）,例：图示结构，已知杆1、2 的拉压刚度为E1A1，长度为l1，3 杆的拉压刚度为E3A3。试求杆1、2、3 的内力。,解：以节点A 为研究对象，建立平衡方程,由变形几何关系可得变形协调方程,由胡克定律可得,由解得：,例：图所示结构，杆1、2 的弹性模量为E，横截面面积均为A，梁BD 为刚体，载荷F=50kN，许用拉应力t=160MPa，许用压应力c=120MPa,试确定各杆的横截面面积。,以梁为研究对象，建立平衡方程,由变形几何关系可得变形协调方程,由胡克定律可得,由解得：,2 杆
27、的横截面面积,1 杆的横截面面积,所以杆1、2 的横截面面积为2.8710-4m2,(拉),(压),二、装配应力,构件制造尺寸误差，静不定结构装配后构件产生的附加应力。,例：图示静不定杆系，已知杆1、2 的拉压刚度为E1A1，3 杆的拉压刚度为E3A3，3 杆有误差，强行将三杆铰接。试求各杆的内力。,解：以节点A 为研究对象，建立平衡方程,由变形几何关系可得变形协调方程,由胡克定律可得,由解得：,三、温度应力,由于温度的变化引起静不定结构中构件产生的附加应力。,例：图所示管长度为l，横截面面积为A，材料弹性模量为E，材料线膨胀系数为，温度升高t，试求管的温度应力。,解：将管子端的约束解除，温度
28、升高，则伸长量为,管子两端固定，相当于有一压力将管子进行压缩，设压力为，则压缩长度为,管的总伸长量为零，则,解得：,8-9 连接部分的强度计算,一、剪切的实用计算,1.剪切概述,两作用力间杆件横截面发生相对错动。,杆件两侧受一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用。,受力特点,变形特点,2.名义切应力计算,3.剪切的强度条件,忽略弯曲、摩擦，假设剪切面上切应力均匀分布,二、挤压的实用计算,1.挤压概述,挤压破坏,在局部接触表面由于很大的压应力使局部区域产生塑性变形或破坏。,2.挤压应力计算,3.挤压的强度条件,有效挤压面积为实际挤压面在垂直于挤压方向的平面上的投影面积（接触面为平面，
29、有效挤压面积为实际挤压面积；接触面为半圆柱曲面，有效挤压面积为直径平面面积）。,例：厚度为t2=20mm 的钢板，上、下用两块厚度为t1=10mm 的盖板和直径d=26mm 的铆钉连接，每边铆钉数n=3。若钢的许用应力=100MPa，bs=280MPa，=160MPa。试求接头所能承受的最大许用拉力。若将盖板厚度改为t1=12mm，则所能承受的最大拉力值是多少。,铆钉的剪切强度,铆钉与板的挤压强度,钢板的拉伸强度,盖板和中间板的轴力图如图，经分析盖板 1-1 截面为危险截面,所以铆钉接头许用载荷为313.6kN,当t1=12mm，铆钉的剪切、挤压强度不受影响，钢板拉伸强度分别校核1-1、2 2、3 3 截面,所以铆钉接头许用载荷为360.8kN,
