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1、数学解题绝招,1,含参数不等式恒成立问题的解法,数学解题绝招,2,一、方法引入：.数形结合法:(1）若f(x)=ax+b,x,，则：f(x)0恒成立 f(x)0恒成立,含参数不等式恒成立问题的解法,数学解题绝招,3,（2）ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是：_。,同理，ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是：_。,数学解题绝招,4,2.分离系数法：把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 f(x)恒成立的充要条件是：_;f(x)恒成立的充要条件是：_的思想，去解不等式的方法。,数学解题绝招,5,二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2
2、+(m-1)x+30.(*)（1）当|x|2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当|m|2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.,当1-m1,(*)式在x-2,2时恒成立的充 要条件为：,解：(1)当1-m=0即m=1时，(*)式恒成立，故m=1适合(*)；,(1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+3 0,当1-m0时，即m1,(*)式在x-2,2时恒成立的充 要条件为：,=(m-1)2-12(I-m)0，,解得:-11m1；,解得:1m,综上可知:适合条件的m的范围是:（-11，）,数学解题绝招,6,则 g(m)0恒成立,解:(2)设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3)（m
3、-2,2）,x（，）,例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30.(*)（1）当|x|2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当|m|2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.,数学解题绝招,7,练习1:对于一切|p|2，pR，不等式x2+px+12x+p恒成立，则实数x的取值范围是：,（-，-1）（3，+）,小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。,2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。,数学解题绝招,8,例2、若不等式x2 0,对x-3,3恒成立，则实数k的取值范围是.,在同一坐标系下作它们的图象如右图:,由图易得:a 1,数学解题绝招,
4、9,-,y=kx,y=2 x,y=-2 x,解：原不等式可化为：x2+2kx,例2、若不等式x2 0,对x-3,3恒成立，则实数k的取值范围是.,设 y1=x2+2(x-3,3)y2=kx,在同一坐标系下作它们的图象如右图:,由图易得:-2 k2,(-,),数学解题绝招,10,小结:3、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。,练习2、若 kx-1 对x 1,+)恒成立，则实数k的取值范围是：_。,2，+）,数学解题绝招,11,例3、若不等式x+2 a(x+y)对一切正数x、y恒成 立，则实数a的取值范围是。,令（t 0）,解:分离参数得:a,又 令1+2t=
5、m（m 1），则,f(m)=,a f(x)max=即a,(当且仅当m=时等号成立),恒成立,则 a（t 0）恒成立,数学解题绝招,12,小结：4、使用分离参数法，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。,注意：f(x)恒成立的充要条件是：_;f(x)恒成立的充要条件是：_。,f(x)max,f(x)min,数学解题绝招,13,例、已知a0，函数f(x)=ax-bx2，（1）当b1，证明对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件是:b-1a2；（2）当0b1时,讨论:对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件。,数学解题绝招,14,x(0,1
6、，b1 bx+2(x=时取等号),故 x(0,1时原式恒成立的充要条件为:b-1a2,(bx-)max=b-1(x=1时取得),又 bx-在(0,1上递增,又 x=0时，|f(x)|1恒成立,x 0,1时原式恒成立的充要条件为:b-1a2,数学解题绝招,15,故(bx+)min=b+1(x=1时取得),(2)0b1时，对x(0,1，|f(x)|1 恒成立,此时(bx-)max=b-1(x=1时取得),故（*）式成立的充要条件为:b-1ab+1,x(0,1时原式恒成立的充要条件为:0 a b+1,而 bx+在(0,1上递减,又 x=0时，|f(x)|1恒成立,x 0,1时原式恒成立的充要条件为:
7、0 a b+1,又 a0,数学解题绝招,16,三、方法小结：,2、对于f(x)g(x)型问题，或利用数形结合思想转化为函数图象的关系处理；或利用分离参数法，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。,1、数形结合法：即对于一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解；对于二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。,数学解题绝招,17,4、已知f(x)=(x R)在区间-1，1上是增函数。（1）求实数 a 的值所组成的集合A；（2）设关于x 的方程f(x)=的两根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式 m2+t m+1|x1-x2|对任意a A及t-1，1 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。,1、当x(0,1)时，不等式x2 loga(x+1)恒成立，则实数a的取值范围是_。,3、若不等式ax2-2x+20 对x(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。,2、若不等式|x-a|+|x-1|2 对x R恒成立，则实数a的取值范围是_。,四、练习题：,
