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1、相交线与平行线教材分析,延庆县第四中学马贵启2013年3,中考对几何的基本要求：,1、能熟练的掌握几何中的基本知识点，基本图形2、能按要求作图，并通过测量猜想结论3、能还原基本图形，并求解证明。,一、本章的地位和作用,（一）：平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，本章是在学生已有知识和经验的基础上，对平面内两条直线的位置关系的进一步探索；垂直作为两条直线相交的特殊情形，对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础 命题是以后研究形式逻辑概念和术
2、语的基础。,（二）学生学习基础分析：学生在七年级（上）中已经学习了有关直线、线段、角的简单内容，积累了初步的观察、操作等活动经验，在此基础上，本章将直观探究平行、垂直的有关内容，并在其中学习简单的说理；在八年级下册“证明（I）”中，学生还将继续学习平行问题，但却是从论证的角度。（三）教材内容分析：在本套教材中，作为“平行与垂直”的第二次“螺旋式上升”，本章的主要内容在于，进一步探索平行线、相交线的有关几何事实，并以直观认识为基础进行简单的说理和初步的推理，同时，借助平行的有关结论解决一些简单的实际问题。,二、知识结构,三、课程学习目标,结合具体情景，理解邻补角、对顶角的概念，探索并掌握对顶角相
3、等；理解垂线、垂线段等概念，掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，了解除线段最短的性质，了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离。理解平行线的概念，了解平行公理及其推论，会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；会识别同位角、内错角、同旁内角；探索并掌握平行线的性质和判定方法。,通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质，能按照要求作出简单平面图形平移后的图形，能利用平移进行简单的图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。了解命题的概念，能初步区分命题的题设和结论；理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句，
4、会用这些语句画出图形，能结合一些具体内容进行说理和简单推理，初步养成言之有据的习惯。能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察、操作、想象、推理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习图形与几何的兴趣。,重点：垂线的概念和平行的判定和性质难点：逐步深入的让学生学会说理。,四、重点、难点,201 2年北京市高级中等学校招生统一考试考试说明-,相交线与平行线(A)1、了解对顶角相等；2、了解垂线、垂线段等概念 3、了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；4、知道直线外一点有且仅有一条直线平行于已
5、知直线；5、知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；,相交线与平行线(B),1、会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；2、会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；3、掌握平行线的性质与判定。,平移,A1、了解图形的平移；2、理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质B1、能按要求作出简单平面图形平移后的图形；2、能依据平移前、后的图形，指出平移的方向和距离.C、能运用平移的知识解决简单的问题；,几何与变换,1872年，德国数学家克莱因(Felix Klein，1849-1925)在埃尔朗根大学评议会上作了题为“关于现代几何学研究的比较考察”的报告，即著名的埃尔朗
6、根纲领，提出了从变换观点来看待几何的重要思想，即每种几何都由其变换群所刻划，并且每种几何所要做的实际就是在这个变换群下考虑其不变量，再者一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一族不变量。在此定义下相应于给定变换群的几何的所有定理仍然是子群几何中的定理,几何作图的教学建议：,1、言必有据、规范示范：2、准确书写：作平行线合作垂线：过作交3、平移作图由简到繁：作关键点的平移：,B,C,A,A,B,C,本章教学约需15课时，具体分配如下:5.1相交线 4课时5.2平行线 3课时5.3平行线的性质 4课时5.4平移 2课时数学活动-1课时章节复习 2课时,五、课时分配,教学建议：,（1）内容呈现上充
7、分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间强调学生通过“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点。在内容处理上，加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合对于几何中的结论，多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫，在教学时应充分注意这一点对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学
8、生的学习方式,（2）注意加强直观性密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难为了减少学生学习的困难，在学习这一章时，注意加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活（3）循序渐进地安排技能训练这一章的教学，除了要学习一些数学知识以外，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础教科书在这方面也是作了精心安排，在教学时应当注意按照由简单到复杂，由模仿到独立操作
9、的顺序，逐步提高要求,（4）有意识地培养学生有条理的思考和表达对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”各个过程中，都没有采用“已知，求证，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不
10、作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急,另外，说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练,（5）注意突出重点内容这一章的内容比较丰富，除了要研究平面内两条直线间的位置关系（重点是垂直和平行关系），还包括平移变换的内容以及一些命题的内容，由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行（6
11、）处理好平移内容从标准看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等通过对图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具平移是一种基本的图形变换，在本章第4节安排了平移变换的内容,对于平移的内容，本章只是一个初步认识，本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度用代数的方法研究平移变换，将平移变换从数和形两方面统一起来，使学生对平移变换有更深刻的了解，为今后使用平移变换发现几何结论，研究几何问题打下基础,（7）、注重现代化技术的应
12、用：,平行线、角平分线、等腰三角形知二得一,2011年中考24题（1）在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F在图1中证明CE=CF；,深挖教材，一题多证，培养发散思维,如：教材P23 6题(2),原题稍加变化后得到下题：,一题多变，培养学生的应变能力：,点P在任意位置：,如果将探究1的图形变换一下,其他条件不变，此时、和 的关系又如何？,思考2,如果将探究2的图形变换一下,其他条件不变，此时、和 的关系又如何？,解题步步有依据，计算证明要严密；步骤简捷又明白，书写规范又整齐。解题方法多变化，切莫做起就完毕；多找几解作比较，开扩思路增效益。写完答案勤总结，认真思考找规律；
13、,第五章相交线平行线中的数学思想,一、转化思想：在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”，本章在研究垂线时，常常转化为直角加以研究；在研究平行线时，常常将平行线的“位置关系”转化为角的“数量关系”，或是将角的“数量关系”转化为平行的“位置关系”，在研究平移时，常将“图形的平移”转化为“关键点的平移”,例1：如图A、B、C三点在同一直线上，12，3D，说明BDCE,分析：要说明BDCE，只需要证明3DBE即可，而3D，也就是要证明DDBE，这就需要证明ADEB，而由12不难得此结论解：因为12所以ADBE（内错
14、角相等，两直线平行）所以DDBE（两直线平行，内错角相等）因为3D所以3DBE（等量代换）所以BDCE（内错角相等，两直线平行）,二、数形结合思想,数形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形给合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。-华罗庚,已知：如图所示，BDFGEC，ABD60，ACE36，AP平分BAC，求PAG的度数,三、方程思想：利用未知数表示有关的量，列出式子，进而列出方程，然后通过解方程来求出问题的解的数学思想就是方程思想,（11-12第一学期大兴期末）21.如图，MONO，OG平分MOP，PON=3MOG，求GOP的度数.因为PON=
15、3MOG，所以设MOG=x,则PON=3x.因为OG平分MOP，所以GOP=MOG=x.因为MOON,所以MON=90,所以MOG+GOP+PON=270,即x+x+3x=270,四、构造思想,当遇到的几何问题直接解决比较困难时，可通过对图形添加辅助线来解决。如图2所示，已知BEDBD，试说明AB与CD的位置关系。,六关于本章教学策略的共识,1、本章讲解以“直观”为教学出发点，讲练结合，重练、重过手、抓“看、说、写”的规范性。2、强化简单的“规范”推理训练：3、课堂拓展方面：逐步渗透完善平行线基本图形的两种思路 4、资料准备：选推理步骤具有代表性的题目。5、对分层教学的共识：采用师徒帮带的方式
16、。6、作业批改与辅导：批改重点放在几何推理的规范性方面（每次布置两个推理说明题，关注重点学生精批、细改，当面辅导与学生结队辅导结合）。,第五公设的等价命题,在平面上过点 C只能引一条直线 l使它与已知直线AB不相交。出现在普罗克鲁斯(Proclus)的欧几里得第一卷注释中一般又称为普雷菲尔(Playfair17481819)命题(1795)。在同一平面上两条不相交的直线 l和 m若与任意第三条直线 n相交必构成相等的同位角和.勒让德(Legendre)命题一定直线的垂线与斜线必相交。F.波尔约(Bolyai17751856)命题在平面上通过不在一直线上的任意三点A、B、C 可作一圆。三角形的三
17、条高线必交于一点。存在一个三角形它的内角和等于二直角。在平面上存在简单四边形(凸四边形)其内角和等于四直角。在平面上至少存在三点使各点到定直线都有等距离且在一条直线上。,沃利斯(J.Wallis16161703)命题在平面上存在一对不相等的相似三角形。Nasir ed-Din(12011274命题如果在简单四边形ABCD里AB是底且其二底角是直角顶点 C的角为锐角时则 BCAD.如果不相交的二直线被另一直线所截则所构成的内错角相等。在直角三角形中二直角边的平方和等于斜边的平方。三角形两边中点的连线等于第三边的一半。圆内接正六边形的一边等于该圆的半径。三角形的三内角平分线共点。,直到18世纪中叶
18、解决 Euclid 平行公设问题的前景仍然是黯淡的。寻求另一个可接受的公理代替它或者证明它是一个定理做这种工作的人是如此之多又是如此地徒劳无功使得法国著名数学家达朗贝尔(dAlembert17171783于1759年将这一问题称为“几何原理中的家丑”。但是两千年来数学家们的不懈努力对建立 Euclid 几何的严格逻辑体系起了很大作用同时也为非欧几何的诞生铺平了道路一场几何观念上的革命即将到来了,几何原本中采用的公设只有5条：公设1 从一点到另一点必可引直线。公设2 任一直线均可无限制地延长。公设3 以任一点为中心，任意长线段为半径可以作圆。公设4 所有直角都相等。公设5 若两直线与第三直线相交,其一侧的两个内角之和小于两直角时,则这两直线向该侧充分地延长后一定相交。（说明 这就是著名的第五公设，它与“直线外一点只能引一条直线与已知直线平行”是等价的，所以又有“平行公设”之称。）几何原本中的公理亦共有5条：公理1 等于同量的量相等。公理2 等量加等量，其和相等。公理3 等量减等量，其差相等。公理4 能迭合的量一定相等。公理5 整体大于部分。欧几里德是这样区分公理与公设的：第一，公理适合于一切科学，而公设是几何所特有的；第二，公理本身是自明的，公设没有公理那样自明，但也是不加证明而承认其真实性的。时至今日，人们已不在区分公理与公设了，都用公理一词来表明。,
