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1、3.5 曲线的凹凸性与函数作图,一.曲线的凹凸性及拐点二.函数图形的描绘,一、凹凸性及拐点,1.定义,设函数f(x)在区间I上除端点外都可导，,为I的任一内点，若对,，恒有,则称函数曲线 在区间I上是(向上)凹 的.,(凸),凹,凸,定理1,2.判别,“正凹负凸”,例1,函数可能在它的定义域里的某些区间是凹的，,3.凹凸区间,在一些区间是凸的，这样的区间称为凹凸区间。,(2)求法：,(1)定义:若连续曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧,凹凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点。,4.拐点,拐点是平面上的一个点，坐标为(x0,f(x0),(3)拐点的求法,问题:如何找拐
2、点?,具体求法:,例2：,练习.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,例3,无渐近线.,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,1.曲线的渐近线,定义.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线.,例如,双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,二、函数图形的描绘,(1).水平与垂直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例.求曲线,的渐近线.,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,(2).斜渐近线,斜渐近线,若,例4.求曲线,的渐近线.,解:,又因,为曲线的斜渐近线.,2.作图的具体步骤：,例5,解,（偶函数,图形关于y轴对称）,3列表确定函数增减区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,小结:,一、函数图形的凹凸性及拐点,二、函数的渐近线及求法,三、函数图形的描绘,
