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1、2023/7/10,1,函数的凹凸性、渐近线与作图,一、函数的凹凸性,二、曲线的渐近线,三、函数作图,若在某区间内,曲线上每一点的切线都位,于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；,若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，,则称曲线在该区间内是凸的,一、函数的凹凸性,2023/7/10,3,(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方,(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方,2023/7/10,4,（一）凹凸性定义,2023/7/10,5,凹曲线的一阶导数变化规律：,2023/7/10,6,凸曲线的一阶导数变化规律：,2023/7/10,7,定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性),（二）凹凸性
2、的判定,2023/7/10,8,（三）拐点,定理1：（拐点必要条件）,2023/7/10,9,定理2（拐点的充分条件）,例1.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是凹的.,说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.,求拐点的一般步骤：,（2）求二阶导数；,（5）求出拐点的纵坐标,（1）求函数的定义域；,（3）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点；,（4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果 符号不同,该点就是拐点的横坐标；,凹、凸区间,解：函数的定义域为,令,得,是拐点,在,两侧,例2.求曲线,及拐点,没有二阶导数不存在的点,列表如下：,符号发生改变
3、,则,解:函数,的定义域为,的拐点,当,时，,不存在,当,时，,在,的两侧，,的符号发生改变.点,是该曲线的拐点,例3.求曲线,当,时，,2023/7/10,14,x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y),的拐点,解 函数,的定义域为,由于,在,处没有定义,所以该曲线,例4.求曲线,没有拐点,2023/7/10,16,ezplot(x*y=1,-10 10),2023/7/10,17,预习：P112115,P108 习题4 20(2)(3)21,作 业,2023/7/10,18,二、曲线的渐近线,2023/7/10,19,曲线渐近线的分类,2023
4、/7/10,20,例5.求曲线,的铅直渐近线,解 因为,所以,和,是曲线的两条铅直渐近线,2023/7/10,22,ezplot(x*(x-1)*y=1,-10 10),2023/7/10,23,注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线,2023/7/10,24,对于函数,所以，,是曲线的一条水平渐近线,由于,2023/7/10,25,(3)斜渐近线,如果曲线,是曲线,的一条斜渐近线,则,或,有,例子见书98页例6,2023/7/10,26,三、函数作图,2023/7/10,27,解,2023/7/10,28,极大,凹,凹,凸,凸,拐点,拐点,2023/7/10,29,
