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1、4.5 导数的应用（2）,一、曲线的凹凸性与拐点,图形上任意弧段位于所张弦的上方,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,2.曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1,2.,二阶导数等于0的点及二阶导数不存在的点是可能的拐点。,（用区间I内二阶导数恒大于0或恒小于0来判定区间I的凹凸性）,思考题:,思考题解答,例,二、渐近线,1.铅直渐近线,2.水平渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,
2、注意:,三、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,三、作图举例,例3.描绘,的图形.,解:1)定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点),4),解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,四、小结,函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,例4.描绘方程,的图形.,解:1),定义域为,2)求关键点.,原方程两边对 x 求导得,两边对 x 求导得,3)判别曲线形态,(极大),(极小),4)求渐近线,为铅直渐近线,无定义,又因,即,5)求特殊点,为斜渐近线,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,思考与练习,1.曲线,(A)没有渐近线；,(B)仅有水平渐近线；,(C)仅有铅直渐近线；,(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,拐点为,凸区间是,2.曲线,的凹区间是,提示:,及,渐近线.,
