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1、抽样技术第六章,王学民 编,1,第六章 不等概率抽样,6.1 概述6.2 放回不等概率抽样6.3 不放回不等概率抽样,2,6.1 概述,当Y1,Y2,YN之间的大小相差很大时，S2也将很大。此时可考虑分层，但更为精细的方法是使用不等概率抽样。,3,在不等概率抽样中，每个单元都被赋予一个大小不等的入样概率，而这个概率通常与某个辅助变量有关，如表示单元规模（大小）的某种度量。不等概率抽样的常见应用情形：总体单元规模相差很大。整群抽样和多阶抽样中，若初级单元相差很大。系统抽样。不等概率抽样的主要优点：可以大大提高估计的精度，减少抽样误差。一个必要条件：对总体中的每一个单元，都要已知一个辅助量用以确定
2、其入样概率或两个单元同时入样的概率。,4,6.2 放回不等概率抽样,一、多项抽样与PPS抽样二、多项抽样的实施方法三、汉森一赫维茨估计量及其性质,5,一、多项抽样与PPS抽样,多项抽样 总体：Y1,Y2,YN入样概率：Z1,Z2,ZN放回抽样n次，共抽到n个单元。取Zi=Mi/M0，其中Mi是第i个单元的大小，此时每个单元在每次抽样中的入样概率与单元大小成比例，称这种特殊的多项抽样为(放回的)与大小成比例的概率抽样，简称PPS抽样。,6,二、多项抽样的实施方法,1.代码法2.拉希里法,7,1.代码法,例6.1 设某个总体有N10个单元，欲用多项抽样从中抽取n5个单元，给定的入样概率 Zi。令M
3、i=100Zi，则其皆为整数，对Mi累加，赋以每个单元的代码列在下表中。在1,100内产生5个随机数：04，73，25，49，82。,8,2.拉希里法,令，每次抽取一个1,N范围内的随机数i及1,M*范围内的随机数m，若Mim，则第i个单元入样；否则重抽一组(i,m)。在例6.1中，N10，M*24。设1,10中的一个随机数为4，1,24中的随机数为9，由于M468，故第2个单元被抽中。如此重复直到抽到n个单元(允许重复)为止。拉希里法适用于N很大的情况。,9,三、汉森赫维茨估计量及其性质,汉森赫维茨(Hansen-Hurwitz)提出的对总体总和Y的估计如下：汉森一赫维茨估计量 具有如下性质
4、：若所有的Zi0，i=1,2,N，则1，即它是无偏的；2.3.若n1，则是 的无偏估计。,10,例6.2,下表是某系统全部N36个单位上一年职工人数Xi及当年职工人数Yi的数据。以Xi为单位大小Mi的度量，对单位进行PPS抽样，n6，估计全系统当年职工总人数Y，并与简单随机抽样作精度比较。,11,12,6.3 不放回不等概率抽样,一、包含概率与PS抽样二、霍维茨汤普森估计量及其性质三、n=2的严格PS抽样,13,一、包含概率与PS抽样,在不放回抽样中，每个单元Yi被包含到样本的概率i=P(i)及任意两个单元(Yi,Yj)都包含到样本的概率ij=P(i,j)通称为包含概率。抽取了n个单元的样本。
5、包含概率i与ij满足以下性质：1.2.3.,14,最感兴趣的是i与单元大小Mi成比例的情形。若仍记Zi=Mi/M0，则有：i=nZi这种不放回的与(单元)大小成比例的概率抽样称为PS抽样。严格的PS抽样实施起来非常复杂。事实上，只有当n=2时，才有一些简单且实用的方法。对于n2，严格的PS抽样都相当复杂。对于大的n，有时根本不可能。除了实施方面的原因外，当n大时，ij的计算也极其困难，而这对于方差估计是不可少的。,15,二、霍维茨汤普森估计量及其性质,对不放回的不等概率抽样，霍维茨(Horvitz)与汤普森(Thompson)提出了以下总体总和Y的估计量：对于PS抽样，由于i=nZi，与相应P
6、PS抽样的 形式上完全一致。若i0,i=1,2,N，则 是Y的无偏估计，且它的方差为：,16,又有若i0,ij0(i,j=1,2,N,ij)，则是 的无偏估计。也是 的无偏估计。,17,三、n=2的严格PS抽样,1.布鲁尔(Brewer)方法2.德宾(Durbin)方法,18,第一个样本单元以概率Zi抽取，设抽到的是单元i；第二个样本单元按与Zj成比例的概率（即Zj/(1Zi)）抽取，则 此时，i不与Zi成正例。,19,1.布鲁尔(Brewer)方法,该方法要求对每个i，都满足。两个样本单元采用逐个抽取法抽取：第一个单元按与成比例的概率抽取；第二个单元则在剩下的N1个单元中按与Zj成比例的概率抽取。,20,2.德宾(Durbin)方法,两个样本单元仍用逐个抽取法抽取。第一个样本单元以概率Zi抽取，设抽到的是单元i；第二个样本单元则按与成比例的概率抽取。德宾方法与布鲁尔方法是等价的。,21,
