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1、砂土的流体动力学方程与本构模型的比较第31卷第6期2010年6月岩土力学RockandSoilMechanicsVl0l-3lJun.NO.6201O文章编号l1000-7598(2010)O6一l72910砂土的流体动力学方程与本构模型的比较蒋亦民1,2,刘佑.(1.中南大学物理科学与技术学院,长沙410083;2.中南大学粉末冶金国家重点实验室,长沙4100833.蒂宾根大学理论物理研究所,蒂宾根72076,德国)摘要:目前砂土材料连续力学方程建模有两种途径,一种是源自于论证Navier-Stokes方程时所用的方法,称为流体动力学方法,主要针对普通固体,普通流体,超流,液晶,高聚物,颗粒
2、物质等材料,它的基本做法是先给出守恒变量(如能量,动量,熵等)和对称破缺变量(如弹性应变,量子相位等)的一般运动方程,再用与具体材料有关的热力学函数和迁移系数来封闭它们;另一种方法是本构模型法,针对有塑性固体,非牛顿流体,砂土材料等材料,该做法特点是直接构建应力,应变,应力率,应变率,速度,密度,温度等变量之间的函数关系,并以此来封闭连续和牛顿方程.近年来采用这两种方法建立的砂土方程在文献上都有报道,因此,有必要对两者的特色,科学基础,适用范围,包括概念上的和具体方程等,进行比较,作为颗粒物理与土力学之间跨学科交流的一种尝试和沟通.通过比较得出,两种建模途径对表征砂土状态的完备变量集,屈服面,
3、与塑性有关的耗散等使用了很不一样的思路和方程.关键词:本构模型;流体动力学;热力学;颗粒物理中图分类号:O469文献标识码:AHydrodynamicmethodversusconstitutivemodelingingeotechnicalmaterialsJIANGYi.min1一,LIUMario3(1.SchoolofPhysicsScienceandTechnology,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China;2.StateKeyLaboratoryforPowderMetallurgyCentralSouthUniversity,Ch
4、angsha410083,China;3.TheoretischePhysik,UniversititTiabingen,Tiibingen72076,Germany)Abstract:Wediscussthemethodsusuallyemployedforcontinuousmechanicalmodelingofgeotechnicalmaterials,ofwhichroughlyspeakingtherearetwo.Thefirst-calledhydrodynamicbecauseitwasoriginallyusedforderivingtheNavier-Stokesequa
5、tions?ismainlyadoptedbyphysicists,whoappliedittosystemssuchassolids,superfluid,liquidcrystals,polymersolutionsandgranularmatter.Tosetupandclosethesetofdifferentialequations,itstartsfromgenerallyvalidprinciplesincludingthermodynamics(especiallyitssecondlaw,orthepositivityofentropyproduction),conserva
6、tionlaws(formass,energyandmomentum),andtheconceptofspontaneouslybrokensymmetry(forvariablessuchaselasticstrainorquantumphase).Thesecondapproachtocontinuousmechanicsisconstitutivemodeling,usuallyemployedbyengineersforthestudyofsystemssuchasplasticsolids,non-Newtonianfluids,geotechnicalmaterials.Itaim
7、stodirectlyconstructfunctionalrelationsamongstress,strain,theirrates,velocity,densityandtemperature,andusethesetoclosemomentumconservation(i.e.theforcebalance).Sincebothhydrodynamicandconstitutivemodelingforgeotechnicalmaterialsarereportedintheliteraturerecently,itisworthwhile-aswedo,concisely,inthe
8、presentpapertoclarifytheirrespectiveideologyandrangeofvalidity,anddiscusstheirsimilaritiesanddifferences.Wepointoutespeciallywhatthecompletesetofstatevariablesineithertheoryis,andhowthetreatmentoftheyieldsurfaceandplasticdissipationdiffer.Keywords:constitutiverelations;hydrodynamics;thermodynamics;g
9、ranularphysics.1引言砂土是一类力学行为非常复杂的材料,至今还没有一个能全面,正确表达其应力.应变关系的理论方程,往往需要用不同模型处理复杂工程问题,通过反复比较获得一些有用的结果.多种不同模型共存是目前砂土工程理论的现状,难以判断它们孰优孰劣(这被Kolymbas比喻为就像不能判断两个人谁比谁更好,即使有一个人是奥林匹克冠军】).与之对照,成熟的物理理论大都是惟一的和被广泛收稿日期:2009.05.20第一作者简介:蒋亦民,男,1962年生,研究员,博士,主要从事颗粒物质基础理论研究.Email:jiangyimin1730岩土力学2010笠接受的,如对牛顿流体而言只有Navi
10、er-Stokes方程正确,对普通弹性固体普遍采用胡克定律做力学分析.近20多年来,一些物理研究者认为,砂土材料的这一状况是因为对它的基础科学认识严重不足所致I3-4J,并在物理刊物上报道了大量有关它的基础研究工作,在物理学科里迅速发展出了一个称作颗粒物理的新研究领域(由砂子粉末等颗粒堆积而成的材料在物理文献中习惯称为颗粒物质).当不同学科的研究者同时关注同一问题时,他们之问需要沟通和交流,开展一些对比和讨论,澄清不同学科对同一问题看法的相同或类似之处,哪些用词或表述的习惯不同带来的误解等等,是项有益的工作.无论在工程,还是物理领域,目前处理砂土材料的理论方法主要有3种:离散元方法(物理中习惯
11、称为分子动力学模拟),动理学(kinetic)方法和连续力学方法.从数学计算的角度看,离散元方法只需处理常微分方程,但方程数目巨大L5J;动理学方法需要解的Boltzmann方程是偏微分方程,方程数目少,但需要求解的未知函数的白变量数目一般有7个之多(1个时间,3个空问坐标和3个速度)8-9.本文将仅限于讨论连续力学方法,它的未知函数(未知物理量)的白变量数目一般有时问和空间坐标4个,比动理学少,但方程数目要多一些,并仍是偏微分方程.在岩土工程的连续力学建模中,一般倾向用少的物理量来表征砂土材料的状态,最好能直接观测试验,直观易懂,避免抽象的物理概念,例如,亚塑模型I2,10-12.该模型通常
12、只涉及质量密度P(或孔隙比),描述质量流动的速度和应力,这3个变量,目标是构建支配这些状态量时空变化的封闭方程.在状态量数目最小化的思想前提的限制下,亚塑模型中唯一需要构建的将是应力的运动方程,又称本构关系,因为密度和速度分别满足连续方程和牛顿运动方程.另一类广泛用于工程分析的弹塑模型I】1引,或塑性模型以及它们的推广I】中,增加了弹性应变b/,和塑性应变P,两个概念,本构关系是从下面两个材料关系推导出来的l】:一个是应力与弹性应变之间的代数关系(如K-G模型ljJ),另一个为塑性应变的运动方程,又称流动法则(flowrule).因此,弹塑理论的建模主要指这两个材料关系方程的构建.长期以来,建
13、模方法一直是岩土工程领域里研究和争论的核心,焦点集中反映在使用一个还是多个屈服面?是否不采纳Drucker公设?用相适应(associated)还是不相适应(nonassociated)的流动法则,或者直接用试验数据来建模等等.另外,以Houlsby为代表的一些研究者【一】主张在Ziegler提出的热力学22基础上解决本构建模问题.为此,他们引入了耗散势的概念和热力学势(如自由能),并提倡从这两个势函数出发,推导应力与弹性应变之间的代数关系和流动法则.颗粒物理领域的大部分研究者对工程建模方法都很陌生,包括Ziegler的热力学.他们曾用Landau的热力学方法23-25推导了许多材料的连续力学
14、方程,包括弹性固体或晶体.一1,超流氦,磁流体,液晶【一,高聚物引,超导材料29,磁性液体刚,电磁色散介质,.】等等.由于Landau方法的主要思想来自Navier-Stokes方程的经典流体动力学理论,一些物理文献习惯对它使用流体动力学方法(hydrodynamicmethod)这个传统称呼L2,尽管其所应用的对象早已不是水和空气那样的流体了.对砂土材料,Haft曾考虑没有弹性情况下的流体动力学方程.近年来进一步建立了包括弹性在内的砂土流体动力学,发现它能成功描述许多复杂的力学特性【3卜.作为完整的物理理论,流体动力学方法需要对所考虑材料的所有宏观物理内容及其计算方法都给出明确具体的交代,因
15、此,不可避免地含有一些在工程建模时极力回避的物理量和概念,如能量,动量,熵,熵产生率或热产生,各种迁移过程及其对应的耗散通量(dissipativeflux),驱动迁移过程的耗散力(dissipativeforce),热力学平衡条件(equilibriumcondition),热力学稳定条件(stabilitycondition),迁移系数(transportcoefficient)等等.也许有人认为这个复杂性对实际工程应用不重要,但从基础研究的角度看却是必要和有意义的,因为这些概念,物理量和它们的大小都是客观存在的,任何材料的连续力学理论都应具体给出它们的公式和算法才算完整和全面.另外,在一
16、定的近似下,可将这个完整的理论约化到工程感兴趣的范围内,展开对比讨论,一方面可通过工程模型来验证流体动力学的构架和材料关系是否合理,另一方面帮助了解工程模型的适用范围,并提供一些分析计算砂土力学行为的新方法.本文将先对砂土材料的流体动力学建模方法和方程作一简单系统的介绍,然后讨论其与工程模型的异同地方,特别是Houlsby的砂土热力学模型.砂土的连续力学属于宏观理论,其中的变量及其物理概念都是在空间平均意义下定义的.由于通常空间平均的范围比邻近颗粒问距大许多,连续介质力学原则上不能描述邻近颗粒间距尺度上的一些现第6期蒋亦民等:砂土的流体动力学方程与本构模型的比较173l象,比如力链.这类细观尺
17、度上的现象一般只能用模拟计算的方法来分析,如离散元法【一.2流体动力学的一般方程流体动力学包括了所有宏观意义上的物理量及其计算方程,这些量比通常岩土工程文献中出现的要多一些.为便于对后面公式的理解,先系统地介绍一下它们的概念和记号约定.本文将采用重复角标自动求和的约定:a+和V分别为关于时间和空间的偏微分;g为重力加速度;为速度矢量的分量,并用,三(VV,)/2记它的空间导数;文中出现的下标i,k,m,z等都是矢量和张量的分量;符号三a+!PkV为物质导数(substantialderivative),符号mi,w,s分别为单位体积的质量,动量矢量,能量,熵,又称质量密度,动量密度,能量密度,
18、熵密度;为单位时间流过单位面积的能量,简称能流或能通量;而为相应的动量流或总应力;标量为温度;R为单位时问单位体积材料产生的热;U为描述材料弹性状态的应变,简称弹应变;由下面的几何方程定义:d=v一ijvkcjkViVk(1它与弹应变的差即是塑性应变:Pu三一(2)显然,弹性应变和塑性应变之和是描述材料几何变形的总应变;符号记材料的化学势,是质量密度的热力学共轭.对能量做Legendre变换可得材料的热力学特征函数,如单位体积的自由能为=WTs(3)符号A三一U址,记弹应变的负迹,表示体弹应变;.兰;,表示剪弹应变,其中上标记相应张量的无迹部分,如三一触/3等.以上是一些对任何弹性和塑性材料都
19、普遍适用的物理量及其相关概念.有时为了方便,在连续介质书和文献中还常用其他方式来定义这里的某些概念.例如,总应力减去来自对流的(convective)应力部分v,也常称作应力:三Ii7tPViVj(4)定义兰一S,三一W一,3e三e一f(5一)f兰一,三,三一fLJpp式中:,e,3分别为单位质量的熵,静止能量和自由能等等.这些符号定义往往有益于一些方程的简化.注意有时它们的差别是可忽略的,如对固态情形通常忽略应力的对流部分v,认为和近似相等.除上面的普适变量外,砂土材料还需要一个描述其颗粒无规运动强度的变量.由于这个无规律运动与气体的分子运动有很多相似的地方,可尝试用一个与熵或温度类似的量来
20、描述,并称为颗粒熵S,或颗粒温度.该做法最早来自Haft的一篇关于颗粒气体流体动力学的工作p引.另外,材料还有一些描述热传导,黏性,等耗散过程的量以及相应的迁移系数等材料参数(又称输运系数,耗散系数).它们的概念和符号具体出现时再介绍.流体动力学中的一部分是普适的守恒方程和热力学方程,它们的形式与具体材料无关,不含任何材料参数,属一般性方程组,但不闭合.首先,有下面的质量,动量,能量守恒方程和熵增加方程:aP+V=0atf+V,=,Ogiatw+V=pga+V(一)=R/T0(6)(7)(8)(9)式中:表示通过扩散(即热传导)方式给出的熵传递或流动.随物质一道流动的熵流量为SVk,总的熵流量
21、因此是v一.本文将只考虑没有电磁场等其他动量贡献的情形.这时动量m与式(6)中的质量流v相等,即只有来自质量运动给出的动量.另外,物理要求应力必须是对称张量卜J,即mk=,=(10)注意式(7)和式(8)中来自重力加速度的效应放在等号的右边单独给出,也就是说,这里的守恒量和它们的流量中不包含来自重力的贡献.将式(10)代入式(7)可得速度的运动方程,又称牛顿方程.根据弹性理论,1,可知弹应变U,的运动方程是类似式(1)的几何方程加上一些与耗散有关的项:=一甜V一VfVk一(VfYj+V,yi)/2+式中:Yi和是描述不完全弹性或弹性松弛等耗散效应的量,是弹性材料发生塑性变形的原因.对没有耗散的
22、理想固体,和为0,式(11)化为式(1),意味着由速度(即质量流动)不均匀01732岩土力学导致的变形都是弹性的,弹应变/,/,与总应变,相同.弹应变u的耗散方式一般有扩散和驰豫两种,分别用Yi和表示.前者耗散可由固体中缺陷的扩散运动产生,是一种普通固体都可能发生的耗散过程【2J,但它一般很弱,对弹应变的影响不大,在通常的弹性理论中大都将其忽略.驰豫是一种强耗散过程,通常当材料内部发生滑移或滚动等现象时出现,并造成弹性松弛.它能给出远大于弹应变的变形E,i使材料在具有弹性的同时还发生大塑性变形或流动.砂土属于内部可发生滑移或滚动的材料,其塑性形变将主要由它给出.由式(1),(2)和式(11)可
23、得塑性应变Pi的运动方程:a,pf,=一PikV一PjkVfVk一(V,Yf+Vfyj)/2(12)式(12)在岩土工程文献中常被称作流动法则.在忽略Y和高阶项PV,Pk时,有dtp.在这个近似下驰豫型耗散Yi,就是材料的塑性应变率.颗粒熵S,与热熵S的行为基本相似,前者描述颗粒的无规涨落运动,后者描述分子的.它们之间惟一的区别是颗粒之间的碰撞或相对滑移等过程一般是非弹性的,使得会不停地向热熵S转移,通过这个驰豫过程来衰减自己.仿照式(9)写出它的运动方程:at2+V(2Vk)=R2/一I(13)式(13)最后的量I>0描述这个S,向S驰豫的现象.这里的2是与类似的非负量,表示颗粒层次上
24、的热产生.一描述颗粒熵的扩散.注意如果设想颗粒之间的相互作用是完全弹性的,I=0,颗粒熵S,将是一个完全像热熵那样的只制造不消失的量,与运动式(13)一致.为便于类比,将对S,和取与S和相同的量纲和单位.这时,这个驰豫耗散的能量损失率,也就是单位时间单位体积中颗粒碰撞的热损失为.显然,这个发热贡献必须计入到热产生尺中(式(19)中的最后项).这里对颗粒涨落运动的处理方式与Haft的2J一样,只是他用的是颗粒温度,这里用的是颗粒熵,方程更简洁些.下面讨论热力学.首先,确定能表征材料热力学状态的变量集合,即所谓的完备独立变量集.对牛顿流体,这个集合可取为质量P,熵S和动量m.砂土是可以出现弹性和颗
25、粒涨落运动的材料,因此,表征它的热力学状态变量集为=,mf,2(14)砂土的其他状态量,如能量,温度,化学势,等都可以表示为的函数,统称为状态方程.根据热力学有全微分形式:dw=Tds+/2cdp+df一,du+r2ds2(15)式中:,是与弹应变bt,对应的热力学共轭,也是弹性对应力的主要贡献项,简称弹应力.热力学关系式(15)意味着存在一个能量特征函数:w=w(p,mi,uij,s2)(16)对其求偏微分能得到所有的状态方程.式(15)的最后一项T2ds,是在颗粒层次上的类比,颗粒温度是与颗粒熵对应的热力学共轭.除表征材料任何体积元的局域热力学性质外,热力学全微分形式(15)还能给出材料在
26、大范围里达到热力学平衡的充分必要条件,也就是在一定的约束下系统的总熵为S=(17)为极大的充分必要条件.利用变分,可得极大的必要条件,又称平衡条件是VT=0,v,j=0,V=0,n-,j=0,=0(18)而充分条件,又称稳定条件是:W为其自变量P,m,Uii.S,的凸函数.也就是说,能量函数(16)关于这些自变量的黑塞(Hessian)矩阵必须是正定的.实际材料只能处于满足稳定条件的那些状态,但可以偏离平衡条件,这时系统将出现耗散过程,同时产生热R0.热力学中一般将平衡条件式(18)左边的量:,V,称作驱动耗散过程的耗散力.当它们不为0时,将激发前面运动方程中出现的耗散流,即,Y,又称为耗散通
27、量.这里,是驱动的黏性应力.按照非平衡热力学I46J,热产生将是这些耗散力与通量的乘积之和:R=V+西vo.+Vzci+,(19)对与颗粒熵有关的热力学迁移过程可作相似的类比.为简单起见,将只保留两个颗粒熵的驱动力V和V/j.这时有:R2=V+V(2o)式中:和表示颗粒层次上的热传导和黏性.值得强调的是,如果将运动式(6)(13)与第6期蒋亦民等:砂土的流体动力学方程与本构模型的比较1733热力学式(15)(20)结合起来,还可推导出一系列非常有用的热力学关系式.特别是应力的表达式:=pv,vj+p16+冗一2u死一(21能量流Ok的表达式为Ok=WVk+o-vt一一nyt一(22)这里为P1
28、三PlZc+,+sT+S2一W(23)式(23)即通常流体动力学中的压强公式.为兰+(24)式中:为动量流(应力)的耗散部分.这些关系式的详细推导过程在文献35中已有报道.上面是砂土流体动力学的一般方程,而其他一些常见的方程都可由他们推导出来.例如,按照式(5)第1式定义的单位质量的熵的运动方程为:一R+:+(25)pTP式中:三R/pT0,是发热给出的熵变,常称为熵变的不可逆部分;三P一V是通过传热方式导致的熵变,又称为熵变的可逆部分.式(25)表示总的熵变有发热和传热两部分.由式(5)第2式定义的单位质量的静止能量的运动方程:pate=一+V(26)=tI2Vk+一=一一,一(27)式(2
29、6)常被解释为能量变化等于功,加上伴随各种扩散型耗散流而带来的能量变化(连续力学中的热力学第一定律).由式(5)第3式定义的单位质量自由能的运动方程为pdtS=一一+Q一一(28)或单位体积的自由能F:的运动方程为a,F=一一R+Rc.(29)=VQTV一sa,Ts(30)工程文献中通常考虑密度均匀的等温材料,并忽略热传导等许多复杂的耗散过程和与速度有关的动力学项,由式(30)有.0.这时,式(29)表明应力作功的一部分变为热,一部分储存到自由能中,这正是Houlsby等的砂土热力学的基础.3无黏性砂土的能量函数和迁移系数模型从上节的一般方程可见,如果知道了热力学特征势和耗散通量,也就最终确定
30、了材料的连续力学方程.特征势和耗散通量包含所有的材料参数,都是材料关系.流体动力学中一般采用标准的非平衡热力学格式来建立这些材料关系.本节将以无黏性砂土为例,具体介绍这个建模方法的基本思路,同时给出一个无黏性砂土的最简单的流体动力学模型,用于分析没有内秉各向异性和组分分离情况时的一些力学问题.首先,考虑能量函数w(p,S,mi,u,s).通常可认为熵,颗粒熵,弹应变之间没有耦合,并取3./,w:+I1一I+2PM12Pc/l(31)B4-Sf:+车)式中:第1项为流体力学动能;第2项为热能,WI=()和分别为平均每个颗粒的热能和质量;第3项为颗粒无规运动所携带的能量;最后一项为弹性势能,它比常
31、见的胡克弹性能多了一个反映颗粒之问赫兹接触效应的因子;为最大堆积密度;bo,B,均为模型参数,如考虑最简单的模型,可看做常数.在考虑建立能量模型时,要特别注意模型给出的热力学稳定区域的边界是否与材料的实际屈服行为相符合.对式(31)可以证明当为常数时,该模型在Drucker-Prager屈服面上开始失去热力学稳定性,比较适合无黏性砂土【.如果对作些修正,还可得到弹塑模型中常见的帽子型屈服面.关于耗散通量,1),Y,I的建模,标准做法是假定它们与耗散力V,V,之间为线性关系,其中的系数称为耗散或迁移(或输运)系数.耦合不同种类耗散力的系数称为非对角迁移系数,在考虑最简单模型时可置为0,有:(32
32、),00000000000七肚0o00000=I734岩土力学式中:,肚,7等均为迁移系数.这里保留了一项非对角系数舭作为示范.将式(32)代入式(19),可得热产生是耗散力的二次函数.由于不能为负,式(32)右边的方矩阵必须是正定的.对颗粒层次上的耗散过程可作同样的建模处理,有:=(2)/Vv式(32),(33)常称为OnsagerAnsatz,是流体力学中处理耗散过程的标准方法.对砂土这样的耗散驱动力比较多的材料,会有很多迁移系数,哪些重要,哪些可以忽略,是流体动力学建模中的复杂和重要问题.通常对称性将使它们的数目大为减少.对内禀各向同性材料,空间旋转对称性要求:=k,71m=n6il6i
33、k+6g/jk/-O*+手=,=+(一等碟=,=772+(一(34)可将迁移系数的数目减少到12个.如再忽略非对角系数,由上面的Onsager方法可得到下面的耗散通量流的表达式:t=tTLr2Vf)_rlvo.+)_rl2vo.+y=冗k=+I:际上是确定它的热力学势和迁移系数,即为流体动力学建模的基本方法和思路.如果去掉前面方程中与颗粒熵有关的内容,可得到经典弹性理论.如果再去掉与弹性应变有关的内容,剩下的就是经典流体力学.因此,这里介绍的砂土力学是经典力学的一个自然延续.从笔者目前的研究结果看,模型式(31)和式(35)己能描述砂土的许多静力学和动力学行为1,特别是与亚塑模型有较好的符合p
34、踟.下面简单讨论它们与Houlsby等建立的砂土热力学理论的关系.4与Houlsby砂土热力学架构的对照大约30年前,Houlsby提出了一个砂土的热力学理论构架,近年来逐渐引起了国内一些岩土研究者的注意-21.该理论与流体动力学都注意到了热力学的重要性,但在具体操作上两者有很大的出入.Houlsby的基本出发点是自由能的运动方程和两个势函数.运动方程为aF=一一R(36)自由能F和热产生0,其中自由能是弹性应变和塑性应变的函数:F=F(upii,)37热产生是应力和塑性应变率a.P,的函数.对率无关材料,尺必须是0tP,的一阶齐次函数.由于必须是正定的,这意味着:R=,/(aP)(aP)(3
35、8)式中:铷为一些可能与应力等有关的材料参数.函数式(37)和式(38)是该理论仅有的两个材料关系.将它们代入式(36),并注意总应变率(35)V/j=at+atP,得迁移系数一般不是纯常数,而是,P,死的函数.这里特别需要注意的是,砂土的某些迁移过程只有当颗粒具有涨落运动时才发生,比如弹性驰豫,在颗粒处于静止接触的情形下是没有的,也就是说,当=0时,它也必须为0,或式(35)第6式中迁移系数为0.如果考虑它关于颗粒温度的泰勒展开,并取最低级近似,将有oc.不难看到,利用守恒方程,热力学关系和OnsagerAnsatz,研究和建立材料的连续力学方程实atUij+a一OO.OtUij-啊旷d一一
36、(39)4ijlk(atPij.)(atPl)由于在Houlsby构架中a和a被看作是独立的,式(39)意味着:薏:一一:(41)一一将式(41)对aP求解可得流动法则.这个理一3:.第6期蒋亦民等:砂土的流体动力学方程与本构模型的比较1735vkV00c42)0七=I=(luJ是aP和的一阶齐次函数,能保证模型的率无关性质.在Houlsby理论里,由于没有颗粒温度,为同时兼顾正定和率无关性质,对使用了非标准的平方根建模方式.(6)不同的函数将导致截然不同的流动法则.Houlsby理论的流动法则可由式(41)对aP,求解得到.这个非线性方程解的情况比较复杂,并且是奇异的,还有一个不确定的比例因
37、子.为看清楚这点,假设=和自由能与无关.这时式(41)的解为a:0如一0(45)dt1,如果厂:一:0也就是说,塑性形变不是在任何应力状态下都可以发生的.对上面的简单例子,只有当应力满足由函数f=一给出的约束条件f=0时,才允许发生.Houlsby注意到了这与弹塑模型中的屈服面性质一致,建议将这个约束规定为材料的屈服条件.利用等式o-/,=/a,可以将式(45)写成更一般的形式:10,屈服面外at/1里,屈服面上46)【d式(46)即为弹塑模型中常见的相适应流动法则.如果选择其他合适的自由能函数式(37)和式(38)中的参数(),可以得到与库仑屈服面一致的非适应流动法则,结果符合弹塑模型的结构
38、要求,Houlsby理论因此被认为是弹塑模型的热力学基础.不难看出,这些结果都来自式(38)中的平方根.由于对采用了标准的二次多项式形式,流体动力学给出的流动法则没有这个奇异性和屈服面.它的塑性应变在任何应力状态下都允许发生.这与亚塑模型比较一致.(7)两个理论在建模时对屈服面采取了不同的处理方法.Houlsby理论中屈服面在函数里,由允许发生塑性形变的那些应力状态组成.而在流体动力学里,屈服面由自由能函数确定,表示应力空间中开始发生热力学失稳的曲面.当系统接近热力学失稳时,文献381的计算显示它对外界扰动的塑性响应会急剧增大,因此,从塑性形变也可以观察到这个流体动力学的屈服面.5不同建模方法
39、的讨论R也是关于a的二次正定多项式.这里,R如果仔细考察和比较流体动力学中习惯采用的1736岩土力学2010笠建模方法与工程中习惯采用的方法,可以看出这些方法在基本思路上的不同之处远多于相同之处.仔细澄清其中哪些是合理的,哪些是不合理的,将有助于砂土力学中一些基础问题的解决.这里显然还有许多有待进一步开展的理论和实验研究工作.首先讨论运动方程.这里有关密度和速度的连续方程和牛顿方程是大家共同采纳的.对于其他方程,物理上可用熵增加和弹性应变方程.其优势是方程的形式和概念比较简单,便于学习和理解.不好的地方是熵很抽象,不能直接进行实验测量,弹性应变只是总变形的一部分,当有塑性发生时,也无法用实验直
40、接测量.相比之下,亚塑模型只关心温度和应力的方程.由于温度和应力原则上都是可测量的,亚塑模型有不抽象,便于同实验对照和充分吸收实验经验的优势.对等温情况,可先不涉及温度方程,集中关注应力方程,即本构关系.这个建模方法比较困难的地方是温度或本构关系的方程形式往往很复杂,特别是对复杂材料,直接寻找它们可能极为困难.物理和工程都认可砂土属于有复杂非线性和耗散力学行为的材料,其本构关系的寻找在岩土工程领域已有很长的研究历史和许多的成就.亚塑建模方法经过长期发展,已经提供了一批有实际应用价值的本构关系,但由于相当复杂,其进一步的发展,特别是向非均匀情况扩展时,仍面临很大难度l4引,物理方法有可能对此提供
41、一些帮助【引.流体动力学建模过程中涉及了较多的概念和变量,有些可能是工程中不习惯,与实验测量不密切的量,从实际应用角度看可能会有不容易理解和接受的问题.但从基础科学角度看,这些都是客观存在的东西,并非空泛的名字和符号,具体落实它41的计算方程显然会有益于我们对砂土形成一个完整的理论认识.也许有人认为,如果先不考虑材料的热效应,砂土又是由不能被热运动激发的宏观颗粒所组成,岂不是可以不涉及热力学方面的内容了.这个看法可能对微观力学模拟计算是可行的,如离散元模拟1J,但对宏观理论而言,热力学除了描述像热胀冷缩那样的温度效应外,还有许多表面上与温度没有直接关系的内容,如某些状态方程,平衡条件与稳定条件
42、等,都是连续力学建模的重要资料和基础.另外,耗散对砂土的力学行为有很大影响.这些内容一般用熵和热力学语言来阐述最为方便和可靠,还能保证模型与基本物理原理不相冲突.在表征材料状态所需要的独立变量的数目上,流体动力学模型比目前变量数目最少的亚塑模型多用了一个颗粒熵(或颗粒温度)变量,但比Houlsby的少(因为塑性应变不是状态量).亚塑模型的材料参数都在本构关系中.流体动力学和Houlsby构架都用热力学势函数作为材料关系之一,如自由能函数,只是它们的自变量不同,前者有颗粒熵但没有塑性应变,后者有塑性应变但没有颗粒熵.另外,两者自由能函数的具体形式亦很不一样.特别是前者要求自由能函数只在砂土能够稳
43、定存在的力学环境范围里满足热力学稳定条件,在这个范围以外必须不满足它们.换句话说,就是自由能函数的稳定区域和非稳定区域应该与实际砂土吻合,而后者似乎没有这个要求.流体动力学和Houlsby构架都认为热产生中含有许多与耗散有关的内容,但在具体处理时用了很不同的方法.前者沿袭了非平衡热力学的标准方法,即先由平衡条件(可从热力学全微分关系得到)确定驱动各种迁移过程的耗散力,然后将写成这些耗散力的正定二次多项式,其中的系数即为迁移系数.对颗粒层次的热产生也是用的这个处理方式.Houlsby构架中没有颗粒熵,因此没有与它相关的各类耗散迁移现象.通常这方面的文献只给出了塑性应变率a导致的热产生lJ,并将与
44、它的函数关系当作独立于自由能势的另一个材料关系.在率无关要求的限制下,它必须是某个.P的正定二次多项式的平方根.这是一种与经典非平衡热力学不同的非标准处理方法(标准方法里没有平方根),是该理论的一个重要特色和创新点.其主要结果是塑性应变ap,0只能在应力空间中的某个曲面上发生,并要求它与砂土的屈服面吻合(可通过调整平方根中的材料参数随应力变化方式来做到).如偏离屈服面将没有塑性.由于这些行为与弹塑模型一致,Houlsby构架常被认为是弹塑模型的热力学基础.与此不同的是,流体动力学在偏离屈服面时也有塑性发生,并在逼近屈服面时塑性行为会急剧增大,这与亚塑模型比较一致.不同理论对屈服面的解释和处理方
45、式也不相同.在亚塑模型里,它是应力空间中允许在应力不变的前提下发生形变的曲面,由本构关系来确定.在Houlsby构架里,它是P,0的曲面,由热产生函数R(又称耗散势)来确定.在流体动力学里,它是应力空间中砂土能够稳定静止地存在的区域的边界面,由能量或自由能势确定.6结论本文通过对比物理中的(流体动力学)与工程第6期蒋亦民等:砂土的流体动力学方程与本构模型的比较l737中的(Houlsby砂土热力学,亚塑和弹塑)建模方法,发现两者有许多不同之处.主要是:(1)前者对连续力学的所有物理内容都建立了具体方程和公式,而后者往往只局限于描述其中的部分内容.(2)不同建模方法使用了不同的独立状态变量集.(3)物理和工程在处理屈服面这个重要问题上所用的方法完全不同.(4)物理中习惯用标准的O
