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1、基本不等式的应用,一、复习引入：,1.重要不等式：,2.定理：,3.公式的等价变形：,证明：因为x,y都是正数，所以,(1)积xy为定值P时，有,上式当 x=y 时，取“=”号，因此，当 x=y时，和 x+y有最小值,(2)和x+y为定值S时，有,上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值,二、讲解范例：,(1)两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：)函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；)等号成立条件必须存在.,一正，二定，三相等,结论:利用均值定理求最值,例2.若x0，y0，且x+y=2，求
2、x2+y2的最小值,解：x2+y22xy，2(x2+y2)(x+y)2,x+y=2，x2+y22即x2+y2的最小值为2当且仅当x=y=1时取得最小值,练习,解：,x0，x+10，,当且仅当 时取得最大值,(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,解：x，y都是正数,xy2 0,x20，y20，x30，y30,x2y22 0,x3y32 0,(xy)(x2y2)(x3y3),x3y3,即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,2 2 2,（当且仅当x=y时，式中取等号）,（当且仅当x=y时，式中取等号）,随堂练习,1.已知a、b、c都是正数，求证(ab)(bc)(ca)abc,解：
3、a，b，c都是正数,bc2 0,ca2 0,(ab)(bc)(ca),即(ab)(bc)(ca)abc.,=8abc,ab2 0,2 2 2,(当且仅当a=b=c时，上式取等号）,知识回顾,例.,最值定理：,(1)和定-积最大.,(2)积定-和最小.,一正；二定；三相等.,应用,例5.有一根长4a的铁丝,如果围成一个矩形;求:围成图形面积最大值：,解:(1)设矩形的长为x,那么宽为2a-x,(2)面积S=x(2a-x),(3)当x=a时，矩形面积S最大=a2,你还有什么不同的方法吗？,方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y,那么：x+y=2a,(2)矩形面积S=xy,(3)当x=y=a时，矩
4、形面积最大值为a2.,基本步骤：,(1)设某线段长为x,(求出其它线段长),(2)建立目标函数w=f(x),(用基本不等式求出最值),(3)当x=?时，w最大(小)=？,(1)设某两线段长为x,y,(求出f(x,y)=0),(2)建立函数w=g(x,y),(用基本不等式求出最值),(3)当x=?,y=?时.w最大=？,感悟设未知数的技巧,1.,A,B,C,D,E,F,G,H,长方体，体积是4800m3,高为3m.,2.,A,B,C,D,E,F,G,两个矩形(如图所示)AB=5,AD=3,3.,A,B,C,D,M,N,矩形ABCD中(如图所示)AB=10,AD=6,M为CD的中点，MNAD.,常用方法：,(1)设MN=x,(2)设AB=x,CD=y,(3)设ABC=x,变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值,解:(1)设两条直角边长为x,y,那么：,(2)所以面积,(3)当x=y=_时，面积最大=,例6.已知一条直线过点M(3,2),它于x轴，y轴 的正方向分别交于A,B,O为原点.求：OAB面积的最小值.,x,y,O,A,B,如何设未知数？,设1个？还是设2个？为什么？,变式:(1)求 的最小值;(2)求 的最小值.,例7.,A,B,P,O,x,y,已知点A(0,4),B(0,6),P在x轴正方向上 求：使APB最大的点P的坐标.,
