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1、线性代数,第一章 行列式,第二章 矩阵及其运算,第三章 矩阵的初等变换及线性方程组,第四章 向量组的线性相关性,第五章 相似矩阵及二次型,一、二元线性方程组与二阶行列式,用消元法解二元(一次)线性方程组:,第一章 行列式,(1)(2),(1)a22:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:,a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去x2,得,(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;,1.1 二阶与三阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则
2、,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程
3、组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,故所求多项式为,1.2 全排列及其逆序数,引例:用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,这是一个大家熟知的问题,答案是:3!=6.,将此问题推广:把n个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法.,定义:把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(或排列).n 个不同的元素的所有排列的种数,通常用 Pn 表示,称为排列数.,Pn=n(n1)(n2)2 1=n!,一、全排列,二、排列的逆序数,定义:在一个排列 i1 i2 is it in
4、 中,若数 isit,则称这两个数组成一个逆序.,例如:排列32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序.以 n 个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序.,3 2 5 1 4,定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,前面的数比后面的数大,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.,例如:排列32514 中,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.,方法1:分别计算出排在1,2,n 前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出 1,2,n 这 n 个元素的逆序数,则所有元素的逆序
5、数的总和即为所求排列的逆序数.,方法2:依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法3:依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,例1:求排列32514的逆序数.,解:在排列32514中,3排在首位,则3的逆序为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故2的逆序为1;,3 2 5 1 4,没有比5大的数,故其逆序为0;,个,故其逆序为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序为1.,5的前面,1的前面比1大的数有3,即,于
6、是排列32514的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.,解:,此排列为偶排列.,例2:计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.,(1)217986354.,2 1 7 9 8 6 3 5 4,0,1,0,0,1,3,4,4,5,于是排列217986354的逆序数为:,t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.,(2)n(n1)(n2)21,解:,n(n1)(n2)2 1,0,1,2,(n1),(n2),t=0+1+2+(n2)+(n1),于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为:,此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列;当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列.,(3)(2k)1(2k1)
7、2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.,(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k,解:,0,1,2,1,2,3,3,(k1),(k1),k,t=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k,于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为:,此排列当 k 为偶数时为偶排列,当 k为奇数时为奇排列.,1.n个不同的元素的所有排列种数为n!个;2.排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法.,三、小结,1.3 n 阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.,说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的
8、乘积.,说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).,例如 a13a21a32,将行下标标准排列,列下标排列312的逆序数为,t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32 的前面取+号.,例如 a11a23a32,将行下标标准排列,列下标排列132的逆序数为,t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取号.,其中是对列下标的所有排列求和(3!项),t 是列下标排列 p1p2p3 的逆序数.,二、n 阶行列式的定义,定义:设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表,作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积,并冠以符号
9、(1)t,得到形如,其中 p1p2 pn 为自然数1,2,n 的一个排列,t为排列p1p2 pn的逆序数.,的项,所有这 n!项的代数和,称为(由上述数表构成的)n 阶行列式.,记作,简记作 det(aij).数 aij 称为行列式 det(aij)(第 i 行第 j 列)的元素.,即,说明1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明2.n 阶行列式是 n!项的代数和;说明3.n 阶行列式的每项都是位于不同行,不同列 n 个元素的乘积,的符号为(1)t;,说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.,例1:计
10、算对角行列式,解:分析.,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.,所以只能 p1=4;,若p14,则,即行列式中非零的项为:,(1)t(4321)a14 a23 a32 a41,即,例2:计算上三角行列式,解:分析,展开式中项的一般形式是,所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.,从最后一行开始讨论非零项.显然,pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即,显然,=1458,同理可得下三角行列式,对角行列式,例5:设,证明:D1=D2.,中b的指数正好是a的行标与列标的差,证:由行列式定义有,由于 p1+p2+pn=1+2+n,所
11、以,故,行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式.n 阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的 n 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知多项式,求 x3 的系数.,思考题解答,含 x3 的项有仅两项,即,对应于,=x3,+(2x3),故 x3 的系数为(1).,(1)t(1234)a11a22a33a44,+(1)t(1243)a11a22a34a43,一、对换的定义,1.4 对 换,定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.,a1 a2 al a b b1 bm,a1 a2 al
12、b a b1 bm,a1 a2 al a b1 bm b c1 cn,a1 a2 al b b1 bm a c1 cn,例如,二、对换与排列奇偶性的关系,定理1:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,即除 a,b 外,其它元素的逆序数不改变.,证明:先考虑相邻对换的情形.,a1 a2 al a b b1 bm,a1 a2 al b a b1 bm,例如,因此,相邻对换排列改变奇偶性.,当 ab 时,对换后 a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变;,当 ab 时,对换后 a 的逆序数不变,b 的逆序数增加1;,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,对一般对换
13、的情形,例如,经过m次相邻对换,排列a1a2alab1bmbc1cn对,换为a1a2alabb1bmc1cn,再经过m+1次相邻对换,对,换为a1a2albb1bmac1cn,共经过了2m+1次相邻对换.,所以,由相邻对换的结果知:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,对一般对换的情形,例如,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明:由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),论成立
14、.,因此,推,下面讨论行列式的另一种定义形式.对于行列式的任一项,其中12ijn为自然排列,其逆序数0,t 为列标排列p1p2pipjpn的逆序数,对换元素,此时,行标排列12jin的逆序为奇数,而列标排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性.,换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变,即t(1jin)+t(p1pjpipn)与t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性.,因此,对,故,一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为(1)t.,因此,总可以经过,若干次对换行列式的任一项,得,其中 s 为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数.,定理2:n 阶行列式也
15、可定义为,其中s为行标排列q1q2qn的逆序数,并按行标排列求和.,定理3:n 阶行列式也可定义为,其中 t 为行标排列 p1p2pn与列标排列 q1q2qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.,因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式:,根据以上讨论,还可以如下定义,例1:试判断 a14a23a31a42a56a65 和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项.,解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列,列标排列的逆序数为:,t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数),所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.,将a3
16、2a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数)所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.,解:将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号.,例2:在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.,项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序
17、数之和为 t(341562)+t(234165),=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数)所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号.,例3:用行列式的定义计算,解:由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素,所以Dn=(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an n,Dn=(1)t 12(n1)n=(1)t n!,即,而,t=t(n1)(n2)21 n=0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2,所以,三、小结,1.对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性.2.行列式的三种定义方法:,其中 r 为行标排列 p1p2p
18、n与列标排列 q1q2qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.,思考题,证明在全部 n 阶排列中(n2),奇偶排列各占一半.,思考题解答,证:设在全部 n阶排列中有s个奇排列,t 个偶排列,则 s+t=n！现来证 s=t.,若将所有 s个奇排列的前两个数作对换,则这 s 个奇排列全变成偶排列,故必有s=t=,若将所有 t 个偶排列的前两个数作对换,则这 t 个偶排列全变成奇排列,如此产生的 s 个偶排列不会超,过所有的 s 个奇排列,所以 t s.,过所有的 t 个偶排列,所以 s t.,如此产生的 t 个奇排列不会超,1.5 行列式的性质,一、行列式的性质,行列式DT称为行列式D的
19、转置行列式.,记,将D的行列互换就得到,证明:记行列式 D=det(aij)的转置行列式为:,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.,按定义,即 bij=aji(i,j=1,2,n),又由行列式的另一种表示得,所以,DT=D,结论成立,说明:性质1行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.,性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.,证明:设行列式,是由行列式,互换 i,j(i j)两列得到.,即,当 k i,j 时,bpk=apk;当 k=i,j 时,bpi=apj,bpj=api;,于是,其中 t 为排列 p1 pi pj pn的逆序数,
20、设 s 为排列p1 pj pi pn的逆序数.,显然 t 与 s 的奇偶性不同,即(1)t=(1)s,所以,例如,推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,证明:互换相同的两行,则有D=D,所以D=0.,性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.,即,推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.,性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零,证明:,性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如,则D等于下列两个行列式之和:,证明:,故结论成立.,性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然
21、后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.,例如,引入记号:用 ri 表示第 i 行,ci 表示第 i 列.在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换.利用性质2交换行列式的第 i,j 两行(列),记作ri rj(ci cj);,利用性质6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去,记作ri+rj k(ci+cj k);,利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数k,记作ri k(ci k);,二、行列式计算,计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,得到行列式的值,结论：上（下）
22、三角行列式、主对角线行列式的值 等于其主对角元的乘积.,例1:计算5阶行列式,解:,例2 计算,解：,解:将第2,3,n 列都加到第一列得:,例3:计算 n 阶行列式,第2,3,n 行都减去第一行得:,例4:设,证明:D=D1D2.,证明:对D1作行运算 ri+t rj,把D1化为下三角形行列式:,对D2作列运算 ci+kcj,把D2化为下三角形行列式:,先对D的前k行作行运算 ri+trj,然后对D的后n列作列运算 ci+kcj,把D化为下三角形行列式:,故,D=p11 pkk q11 qnn,=D1D2.,例5 计算2n阶行列式,其中未写出的元素为0.,解：,将D2n中的第2n行依次与前面
23、的行对换，,换至,第二行；,再将D2n中的第2n列依次与前面的列对换，,换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得,若,则称D为对称行列式；,若,则称D为反对称行列式；,证明：奇数阶反对称行列式的值为0.,反对称行列式的主对角元全为0,证明：设 n 阶反对称行列式为：,由行列式的性质1可知：,每行提取（1）,n为奇数,所以D0.,行列式的6个性质.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式的值.,三、小结,思考题,其中已知 abcd=1.,计算行列式,思考题解答,1.6
24、 行列式按行(列)展开,一、余子式与代数余子式,引例,考察三阶行列式,在 n 阶行列式D中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后,留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式,记作 Mij.即,记 Aij=(1)i+j Mij,称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.,例如,行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.,引理:如果一个 n 阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零,那么,行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积,即 D=aij Aij.,=aij Aij.,证:当 aij 位于第一行第一列
25、时,又由于 A11=(1)1+1M11=M11,由上节例4,即教材中的例10得:D=a11M11.,从而 D=a11A11,即结论成立.,再证一般情形,此时,把D的第 i 行依次与第 i 1行,第 i 2行,第1行交换,得,再 把D的第 j 列依次与第 j 1列,第 j 2列,第1列交换,得,=(1)i+j aij M11,显然,M11恰好是aij在D中的余子式Mij,即M11=Mij,因此,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立.,定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin(i=1,2,n)
26、;D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni(i=1,2,n).,二、行列式按行(列)展开法则,证:,D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin(i=1,2,n).,由引理得:,引理的结论常用如下表达式:,(i=1,2,n),推论:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.,证:把行列式D=det(aij)按第 j 行展开,得,把 ajk 换成 aik(k=1,2,n),当 i j 时,可得,第 j 行,第 i 行,同理 a1iA1j+a2iA2j
27、+aniAnj=0,i j,所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j,关于代数余子式的重要性质,其中,说明：由证明过程可知,例1:计算行列式,解:,解:按第一行展开,得,例1:计算行列式,如果按第二行展开,得,例2:计算行列式,解:D,例3:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,说明：（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特点是：,每列（行）元素都是分别是同一个数的不同,方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按,递升次序排列,从0到 n1次.,（2）范德蒙德(Vandermonde)行列式的结果是,满足条件,的所有因子,的连乘积，共有,个因子.,证:用数学归纳
28、法,所以,当 n=2 时,(1)式成立.,假设对 n-1 阶范德蒙德行列式,(1)式成立.,对 n 阶范德蒙德行列式,作如下变换,ri x1ri-1(i=n,n1,2,1).得,按第一列展开,并把每列的公因子(xi x1)提出,就,有:,n1阶范德蒙德行列式,则根据归纳假设得证:,例4:计算,解:Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方幂的次数自左至右按递升次序排列,但不是从0到 n1,而是从1递升至 n.若提出各行的公因子,则方幂的次数便是从0升到 n1,于是得:,上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置,由范德蒙行列式知,评注:本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂
29、次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子,调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.,例5:计算,解：考虑行列式,一方面，,这是一个关于 y 的 n 次多项式，其中,的系数是,另一方面，将,按最后一列展开：,其中,是,的系数.,比较可得：,这种方法称为：加边法（升阶法）.,例6.计算行列式,解：,例4.已知,求,解：,1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,2.,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+A1n.,设 n 阶行列式,思考题解答,解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,A
30、11+A12+A1n,1.7 克拉默(Cramer)法则,设线性方程组,若常数项b1,b2,bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,bn全为零,则称此方程组为齐次线性方程组;,(1),齐次线性方程组,易知，,一定是(2)的解，称为零解。,若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。,定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即,那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为,其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即,证明:用系数行列式D的第 j 列元素的代数余子式A1
31、j,A2j,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得,再把 n 个方程相加,得,D,由行列式代数余子式的性质可知,上式中xj 的系数等于D,而 xi(i j)的系数均等于0,等式右端为Dj.,于是,因此,当 D0 时,方程组(2)有唯一解:,Dxj=Dj(j=1,2,n),(2),由于方程组(2)与方程组(1)等价,故,也是方程组(1)的唯一解.,定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.,定理3:如果齐次线性方程组(3),的系数行列式 D0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.,(3),定理4:如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式 D 必为零.,在后面
32、我们将证明:齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式 D 必为零.,例1:用克拉默法则解方程组,解:,所以,解:,例2:用克拉默法则解方程组,所以,例2:问 取何值时,齐次方程组,有非零解?,由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解:,则=0,=2或=3时,齐次方程组有非零解.,解：,假设这3点位于直线,上，其中,a,b,c 不同时为 0,即有,3点共线等价于上述关于a,b,c 的齐次线性方程组有非零,解，其充要条件是,例4.证明 n 次多项式至多有 n 个互异的根.,证明：用反证法,假设 n 次多项式,有 n 个互异的根：,即有,上述关于,的齐次线性方程组的系数
33、,行列式为：,因为,互不相等，,所以,从而齐次方程组只有零解，,这与,矛盾，,故结论成立！,用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.,2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.,小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?,思考题解答,不能.此时方程组可能为无解,或有无穷多解.,2.1 矩 阵,一、矩阵概念的引入,1.线性方程组,的解取决于系数aij和常数项bj(i=1,2,n,j=1,2,m).,对线性方程组的研究可转化为对这张数表
34、的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,二、矩阵的定义,定义:由mn个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的 m 行 n 列的数表:,称为m行n列的矩阵.简称 mn 矩阵.记作,简记为:A=Amn=(aij)mn=(aij).这mn个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素.,矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,其行数和列数相同，一个数字行列式经过
35、计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如:,是一个24实矩阵;,是一个33复矩阵;,是一个14(实)矩阵;,是一个31(实)矩阵;,是一个11(实)矩阵.,几种特殊矩阵,(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：,方阵和方阵的行列式是不同的含义.,记作,称为对角矩阵(或对角阵）.,(3)如果En=diag(1,2,n)=diag(1,1,1),则称En为(n阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为E.,(4)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向
36、量).,(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵,mn 阶零矩阵记作Omn或O.,AO,|A|=0,|A|=0,AO,若|A|=0,称 A 为奇异矩阵；,对于 n 阶方阵A,(6)设A=(aij)为 n 阶方阵,对任意 i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=aji 都成立,则称A为反对称矩阵;,例如:,A为对称矩阵,B为反对称矩阵.,例1:设,解:由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,已知A=B,求x,y,z.,x=2,y=3,z=2.,得:,2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称矩阵A与
37、B相等,记作A=B.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.,三、矩阵的应用,线性变换.,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,线性变换,这是一个以原点为中心旋转 角的旋转变换.,(1)矩阵的概念:m行n列的数表,三、小结,(2)特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,一、矩阵的加法,定义:设两个同型的 mn 矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即,对应元素相加,2.2 矩阵的运算,例如:,说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能
38、进行加法运算.,矩阵加法的运算规律,交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).,(4),称为矩阵A的负矩阵.,(5)A+(A)=O,AB=A+(B).,(3)A+O=A,二、数与矩阵相乘,定义:数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A 或A,简称为数乘.即,注意：与 不同！,设A,B为同型的mn 矩阵,为数:1 A=A.(2)()A=(A).(3)(+)A=A+A.(4)(A+B)=A+B.,矩阵的数乘的运算规律,矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.,三、矩阵与矩阵相乘,引例：设有两个线性变换,将（2）代入（1）：,这个线性变换称为线性变换（1）
39、和（2）的乘积.,线性变换（1）对应的矩阵为：,线性变换（2）对应的矩阵为：,（1）和（2）的乘积对应的矩阵为,由此引出矩阵乘法的定义：,定义:设A=(aij)是一个 ms 矩阵,B=(bij)是一个sn 矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积 C=(cij)是一个mn 矩阵,其中,(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.,是 A 中的第 i 行元素与 B 中第 j 列的对应元素相乘再相加.,例1:,例2:,当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数等同看待！,例3:求AB,其中,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.,利用矩阵的乘法：若记,则线性
40、变换可记作,对于线性方程组,则方程组可以表示为：,线性方程组的矩阵表示形式,若记,则上述方程组可以表示为,线性方程组的向量表示形式,矩阵乘法的运算规律,结合律:(AB)C=A(BC);分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;,当 AB 有意义时，BA 可能无意义！,例如:,不存在.,有意义，但是,注意:（1）矩阵乘法一般不满足交换律,即:AB BA，,因此要注意矩阵相乘的次序.,一般，AB称为A左乘B，或者B右乘A.,AB 和 BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵.,例如：,是一阶方阵，但是,是三阶方阵.,即使 AB 和 BA都
41、有意义，也是同型矩阵，它们,也可能不相等.,例如:设,AB BA.,当 AB BA 时，称 A 与 B 不可交换；,当 AB=BA 时，称 A 与 B 可交换，,(2)矩阵的乘法一般不满足消去律，即,或,从上述例子还可以看到：,此时 A 与 B 必为同阶方阵。,若,但AB=O,则称 B 是 A 的右零因子，A 是 B 的左零因子.,特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：,单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的,乘法中的作用.,若 A 为方阵，则有,左乘 A 等于用,乘以A中第 i 行的元素.,右乘 A 等于用,乘以A中第 i 列的元素.,若,则,例4:计算下列矩阵乘积:,解:,a11x1+a2
42、1x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a23x2+a33x3,=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,当矩阵为对称矩阵时,结果为,n 阶方阵,若当 i j 时，,则称 A 为上三角矩阵.,若当 ij 时，,则称 A 为下三角矩阵.,结论：两个上（下）三角矩阵的积仍然是上（下）三角矩阵.,证明：设 A,B 是两个上三角矩阵，且C=AB,当 ij 时,即 C为上三角矩阵.,方阵的幂和方阵的多项式,定义,设 A 是 n 阶方阵，k 个 A 的连乘积称为 A 的,k 次幂，记作,
43、即,当 m，k 为正整数时，有,只有方阵能定义幂,当AB不可交换时，一般,当AB可交换时，,定义 设,是 x 的 k 次多项式，A 是 n 阶方阵，则称,为方阵 A 的 n 次多项式.,若 f(x)，g(x)为多项式，A、B为 n 阶方阵，则,f(A)g(A)=g(A)f(A),当 AB 不可交换时，一般,特别当矩阵为对角阵=diag(1,2,n)时,则,f()=a0E+a1+akk,方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.,例如,(E+A)(2 E A)=2 E+A A2,(E A)3=E 3A+3A2 A3.,因为单位矩阵 E 与任意同阶方阵可交换，所以有,解:,例4:,由此归
44、纳出,用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.,假设,当k=n时结论成立,对 k=n+1时,所以对于任意的 k 都有:,也可利用二项式定理展开计算.,记,于是,注意到：,即当,时，,所以,四、矩阵的转置,定义:把矩阵A 的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A 的转置矩阵,记作AT.,例如:,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,转置矩阵的运算性质,一般地,证明（4）,设,首先容易看到,与,为同型矩阵.,因为,所以,的第 i 行第 j 列,的元素为,又因为,中第 i 行的元素为 B 中第 i 列的元素,中第 j 列的元素为 A
45、中第 j 行的元素,于是,的第 i 行第 j 列元素为,故,解法1:因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,例6：设,（1）,的第 i 行第 j 列的元素为,（2）,的第 i 行第 j 列的元素为,（3）,的第 i 行第 j 列的元素为,设A=(aij)为 n 阶方阵,对任意 i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=aji 都成立,则称A为反对称矩阵;,显然，若 A 是反对称矩阵，那么对任意 i，有,由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得:,方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.,证明:因为,例7:设列矩阵
46、X=(x1 x2 xn)T,满足XTX=1,E为n 阶单位矩阵,H=E 2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.,HT=(E 2XXT)T=ET 2(XXT)T=E 2XXT=H.,所以,H为对称矩阵.,=E2 E(2XXT)(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E 4XXT+4(XXT)(XXT)=E 4XXT+4X(XTX)XT=E 4XXT+4XXT=E,HHT=H2=(E 2XXT)2,例8:证明任一n 阶方阵A 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明:设 C=A+AT,所以,C为对称矩阵.,从而,命题得证.,则 CT=(A+AT)T=AT+A=C,设 B=A AT,则 BT=
47、(A AT)T=AT A=B,所以,B为反对称矩阵.,五、方阵的行列式,定义:由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式,记作|A|或 detA.,例如:,则,方阵行列式的运算性质,|AT|=|A|;|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,定理：设A、B是两个 n 阶方阵，则,思路：利用分块行列式的结论，行列式的性质6及矩阵乘法的定义.,对于同阶方阵A和B，一般AB BA，但是|AB|=|BA|,继续做,重要例子,例9.,设,矩阵A的伴随矩阵注意其元素的下标,证：设,其中,于是,两边取行列式得:,因为,所以,类似可证：,六、共轭矩阵,定义:当 A
48、=(aij)为复矩阵时,用 表示aij 的共轭复数,记,称 为A 的共轭矩阵.,运算性质,设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则:,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.,注意,思考题,思考题解答,设A与B为 n 阶方阵,等式A2B2=(A+B)(AB)成立的充要条件是什么?,答:因为(A+B)(A B)=A2+BA AB B2,故等
49、式A2 B2=(A+B)(A B)成立的充要条件是:,AB=BA.,在数的运算中,当数 a 0 时,有 aa-1=a-1a=1.,在矩阵的运算中,单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得,AA-1=A-1A=E,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.3 逆 矩 阵,或者从线性变换的观点来看：,给定线性变换,若记其系数矩阵,则线性变换可记为：,若,记,则上式可以写作：,这是一个从 Y 到 X 的线性变换，,它是线性变换,的逆变换.,为恒等变换,则有：,定义:对于n 阶方阵A,如果存在一个n 阶方阵B,使得 AB=BA=E
50、则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1,即,（1）A与,为同阶方阵；,（2）若 B 是 A 的逆矩阵，那么 A 也是 B 的逆矩阵;,(3),例如:设,由于 AB=BA=E,所以 B 为 A 的逆矩阵.,说明:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.,事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有,所以,A的逆矩阵是唯一的,即,AB=BA=E,AC=CA=E,可得:,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.,B=C=A-1.,解:利用待定系数法.,即,则,又因为,则,解得,所以,即,AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.
