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1、第三章 不等式和不等式组,3.1不等式的概念和性质,1、不等式表示两个量之间大小关系的记号叫做不等号，常用的有“”（读作小于），“”（读作大于），“”（读作不大于，即小于或等于），“”（读作不小于，即大于或等于），“”（读作不等于）。,用不等号连接两个算式的狮子叫做不等式。例如3 2、x+y 0等都是不等式。,2、不等式的性质,比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.,同解变形原理(1)不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式；(2)不等式的两边都乘以(或都除去)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式；(3)不等式的两边都乘以(-1)并改变不
2、等号的方向，所得的不等式与原不等式是同解不等式。,性质4 如果ab0,那么ab,性质5 如果ab0,那么ab;反之，如果ab,那么ab,3、不等式解集 含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的所有可取值的集合叫做不等式的解的集合，简称为不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。,4、同解不等式与同解变形如果两个不等式的解集相同，则这两个不等式叫做同解不等式。使一个不等式变为另一个与它同解的不等式的过程叫做同解变形。,5、同解原理1）不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式；,2）不等式的两边都乘以(或都除去)同一个正数，所得的不等式与原
3、不等式是同解不等式；,3）不等式的两边都乘以(-1)并改变不等号的方向，所得的不等式与原不等式是同解不等式。,3.2 一元一次不等式及其解法,1、定义 只有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式是一元一次不等式。,2、解法 经过同解变形，如去分母、去括号、移项、合并同类项、不等式两边都除以未知数的系数等，即可求得解集。,3、标准化一元一次不等式，经过不等式的同解变形后，都可以化成axb的标准形式。,对于不等式axb，其解集有以下几种情况1）当a0时，根据同解原理2）,不等式axb的解集为xb/a2)当a0时，根据同解原理2）、3）,axb的解集为xb/a3）当a=0时，分两种情况讨论：1、
4、如果b0,则0*xb(即0负数)对于一切实数x永远成立。也就是说axb的解集是R 2、如果b 0,则没有一个实数x，能使不等式成立，也就是说解集为空集。,例31 求下列不等式的解集(1)(2)解(1)经同解变形得:,在数轴上表示不等式的解集(2)经同解变形得:,在数轴上表示不等式的解集,一元一次不等式组及其解法,3.3一元一次不等式组及其解法,1、一元一次不等式组的概念 由二个及以上一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.,2、同向不等式 如果两个不等式中，每一个的左边都大于右边，或者每一个的左边都小于右边，则这两个不等式叫做同向不等式。,3、异向不等式 两个不等式中，一个不等式的
5、左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，则这两个不等式叫做异向不等式。,4、一元一次不等式组的解集不等式组中各一元一次不等式的解集的交集.例如 的解集是 用区间表示,总结不等式组解集的四种情况(设n m)：1）x m，且x n，则解集为x n；2）x m，且x n，则解集为x m；3)x m，且x n,则解集为mxn;4)x m，且x n,则解集为空集。,3.4 绝对值不等式,1、绝对值不等式的概念 含有绝对值符号，并且绝对值符号内含有未知数的不等式，叫做绝对值不等式.,2、绝对值不等式的解法1）.型不等式及解法,当a0时，xa的解集是-axa；xa的解集是xa或x-a；,当a0时1）xa
6、的解集为空集；2）当a0时，xa的解集是R；当a0时，xa的解集为x 0.,2）不等式及其解法,3.5 一元二次不等式及其解法,1、一元二次不等式的概念 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式，如,2、一元二次不等式的解法 a0时，由一元二次方程ax+bx+c=0的判别式的符号与二次函数y=ax+bx+c的图像相应位置关系，可确定一元二次不等式的解集（a0时，可转化为a0 的情况）1)当b-4ac0时，即一元二次方程有两个相异实根x1,x2(x1x2)时，ax+bx+c0的解集为xx1或xx2;ax+bx+c0的解集为x1 x x2.2)当b-4ac=0时,即一元二次方程有两个相同实跟时，ax+bx+c0的解集为x-b 2a;ax+bx+c0的解集为空集。3）当b-4ac0时，ax+bx+c0的解集为R，ax+bx+c0的解集为空集。,3.6可利用一元二次不等式求解的两种常见的不等式,1.不等式（ax+b)(cx+d)0(或0)的解法 这种不等式可依一元二次方程（ax+b)(cx+d)=0的两根情况及x系数的正、负来确定其解集。2.不等式（ax+b)(cx+d)0(0)的解集 不等式（ax+b)(cx+d)0(0)与不等式（ax+b)(cx+d)0(或0)是同解不等式，从而前者也可化为一元二次不等式求解。,
