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1、常规及复杂控制技术(二)数字控制器的离散化设计,主要内容,1、采样系统基础 2、数字控制器离散化设计步骤 3、最少拍控制器的设计 4、最少拍无波纹控制器的设计 5、数字控制器的程序实现方法,数字控制器的模拟化设计的基本思想是在连续时间域设计出满足控制性能要求的模拟控制器，再通过某种近似将模拟控制器转换成数字控制器。这种方法一般要求采样周期尽量小（T越小，离散系统越接近连续系统）。对控制品质要求不高，且模拟控制器比较简单时，该方法有效。,当计算机控制系统对控制品质要求比较高，或者由于控制任务的需要选择比较大的采样周期时，则必须从被控对象的特性出发，将被控对象进行离散化变成离散系统，根据计算机控制
2、理论(采样控制理论)来设计数字控制器，这类方法称为数字控制器的离散化设计或数字控制器直接设计。离散化设计比连续化设计更具有一般意义，它完全是根据离散控制系统的特点进行分析和综合，并得出相应的控制规律和算法。,5.2.1 采样系统基础,1、采样系统的Z变换 对连续信号x(t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号x*(t)，它也可以看作是连续信号对脉冲系列的调制，即对上式进行拉氏变换，可以得到引入记号由上式可以定义一种新的变换它称为采样信号的Z变换,典型信号的Z变换（1）单位脉冲函数（2）单位阶跃函数（3）单位速度函数（4）单位加速度函数（5）典型输入函数,Z变换的性质线性定理延迟定理超前定理初值
3、定理终值定理卷积定理,2、Z传递函数 设离散系统的输入脉冲系列为xi，输出脉冲系列为yi，它们的Z变换分别为X(z)和Y(z)，则可定义该离散系统的Z传递函数为Z传递函数也称为脉冲传递函数，它表征了离散系统对采样信号的输入输出传递性能。Z传递函数的求解步骤（已知系统的连续传递函数G(s)）（1）根据G(s)求出系统脉冲响应函数（2）确定系统脉冲响应函数在采样时刻t=iT的值gi（3）根据Z变换定义得到系统的Z传递函数,3、采样系统的稳定性如果采样系统Z传递函数 G(z)的极点 zi 在Z平面的单位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一有限值；如果某一极点 zj 在单位圆
4、上，则系统临界稳定，对于有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；如果 G(z)的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散,4 差分方程,采样系统的数学模型用差分方程描述。差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)、，以及输入序列u(k)，及其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、，所构成。（k=0,1,2,）序列中 k 即 kT，k=0T为研究开始时刻，kT 可以理解为当前时刻，而(k-1)T为前一采样时刻。,差分方程的建立：,数字系统中，由算法决定。连续
5、系统被采样时：首先在时域内求出微分方程将采样序列代入方程用差分代替求导用求和代替积分例：惯性系统 被采样后的差分方程：,5.2.2 数字控制器离散化设计步骤,1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数(z)2、求广义对象的脉冲传递函数G(z)3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z),4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式设数字控制器D(z)的一般形式为：数字控制器的输出U(z)为：将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器D(z)的计算机控制算法为：按照上式，就可编写出控制算法程序。,5.2.3 最少拍控制器的设计,所谓最少拍控制，就是要求所得到的闭环
6、系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉冲传递函数式有如下的形式：式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。最少拍控制实质上是时间最优控制，最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统。最少拍控制常应用于随动系统，伺服系统、运动控制中。,最少拍控制系统设计的要求（1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差（2）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的控制周期数最少（3）数字控制器必须在物理上可以实现
7、（4）闭环系统必须是稳定的,设计步骤（1）求广义对象的脉冲传递函数G(z)（2）确定所需要的闭环脉冲传递函数(z)（3）确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)（4）根据D(z)求取控制算法的递推计算公式,1最小拍数字控制器设计误差E(z)的脉冲传递函数为：典型输入函数 对应的z变换,根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e()为零，必须有 e(z)=1-(z)=(1-z-1)q F(z)(z)=1-e(z)=1-(1-z-1)q F(z)这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。为了使(z)能够实现，F(z)中的首项应取为1，即：F(z)=1+
8、fz-1+f2z-2+fpz-p,显然，(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。特别当P=0时，即F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍(q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择(z)为：(z)=1-e(z)=1-(1-z-1)q F(z)=1-(1-z-1)q最少拍控制器D(z)为：,2、典型输入下的最少拍控制系统分析（1）单位阶跃输入（q=1）输入函数r(t)=1，其z变换为：由最少拍控制器设计时选择的系统闭环传函为：误差函数：进一步得到系统输出为：上两式说明系统只需1拍（一个采样周期）输出就能跟踪输入，误差为零，系
9、统进入稳态。,（2）单位速度输入（q=2）输入函数r(t)=t，其z变换为：由最少拍控制系统闭环传函为：误差函数：进一步得到系统输出为：以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。,（2）单位加速度输入（q=3）输入函数r(t)=(1/2)t，其z变换为：由最少拍控制系统闭环传函为：误差函数：系统输出为：以上两式说明，上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。,例1：已知被控对象为：采样周期T=1s，输入为单位速度求：最少拍数字控制器解：对象广义的脉冲传递函数为：,在单位速度输入下，最少拍控制系统闭环传函为：最少拍控制器D(z)为：结果分
10、析：系统的误差为：系统输出为：,单位速度输入下输出和误差变化波形,单位阶跃输入时：,单位加速度输入时：,单位斜坡输入仿真,误差,输出响应,单位阶跃输入仿真,误差,输出响应,单位加速度输入仿真,误差,输出响应,最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可
11、见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。,3、最少拍控制器设计的限制条件 前面的关于最小拍控制器的设计要求广义对象的脉冲传递函数G(z)是稳定的，在单位圆上和单位圆外没有零、极点，并且没有纯滞后因子。(1)最少拍控制的物理实现问题数字控制器的脉冲传递函数中，不能有z的正幂次项，即不能含有超前环节。否则在控制算法中，将出现未来时刻的偏差值。,假设广义对象存在纯滞后，脉冲传递函数为：控制器的传递函数为：为了保证控制器中不存在超前环节，当广义对象分子中存在z-r时，则闭环脉冲传递函数分子中也应包含z-r,（2）最少拍控制的稳定性问题 1)当广义对象中存在单
12、位圆上和单位圆外的不稳定零点时，为了避免控制器不稳定，闭环脉冲传递函数(z)必须包含广义对象G(z)中不稳定的零点。,（2）最少拍控制的稳定性问题 2)当广义对象存在单位圆上和单位圆外不稳定极点时，由于不能简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点。虽然理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。,设不稳定对象的z传递函数为,最小拍控制器为,若实际系统的不稳定极点与pi有偏差pi,对应的闭环Z传递函数为,为解决这个问题，应采用误差脉冲传递函数e(s)
13、的零点抵消G(z)中不稳定的极点。e(z)=1-(z)=(1-piz-1)(1-z-1)q F(z),它的极点取决于pi，pi=0时，不稳定极点pi能被零点对消；pi 0但充分小时，由于极点是随分母多项式的系数连续变化的，闭环系统将有一个十分接近pi的单位圆外的极点，这一极点不能被零点对消，将引起闭环系统的不稳定。,系统的误差z传递函数为,对应的闭环Z传递函数为,pi0时，*(z)(z)，系统稳定。,最小拍控制器设计小结：（1）为了实现无静差，必须针对不同的输入选择不同的误差脉冲传递函数e(z)。通常e(z)=(1-z-1)q F(z)。（2）为了保证闭环系统的稳定性，e(z)的零点应包含广义
14、对象脉冲传递函数G(z)中所有不稳定的极点。（3）为了保证数字控制器能够实现，G(z)所有不稳定零点和滞后因子应包含在闭环脉冲传递函数(z)中。（4）为了实现最小拍控制，F(z)应尽可能简单。F(z)的选择必须满足：(z)=1-e(z),例2：已知被控对象的传递函数为：设采样周期T=0.5秒，设计单位阶跃输入时最小拍数字控制器D(z)解：系统广义对象的脉冲传递函数G(z)为 G(z)中包含单位圆外零点z=-1.4815和一个滞后因子z-1。,根据最小拍控制设计的条件，可假设：e(z)=(1-z-1)F(z)(z)=1-e(z)=az-1(1+1.4815z-1)由于(z)和e(z)为同阶多项式
15、。可以简单的取F(z)=1+bz-1。可得：1-(1-z-1)F(z)=az-1(1+1.4815z-1)(1-b)z-1+bz-2=az-1+1.4815az-2比较系数可得：,数字控制器的脉冲传递函数为：单位阶跃输入下，系统输出的Z变换为：在单位阶跃输入下，系统误差的Z变换为：,练习：参考例6-1对本例进行仿真,5.2.4 最少拍无波纹控制器的设计,在前面的最小拍控制器的设计中，只是保证在采样点上的稳态误差为零，不能保证在采样点之间的误差值也为零。在许多情况下，系统在采样点之间的输出会出现波纹。输出波纹不仅会造成误差，使实际控制不能达到预期目的，而且增加了执行机构的功率损耗和机械磨损。纹波
16、产生的原因是在稳态时，控制量U(k)不是恒定值，而是波动的，从而造成输出有波动。最少拍无纹波设计就是要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波，输出误差为零，控制量保持恒定。,例如在例1中，控制对象为采样周期为1秒。广义对象的脉冲传递函数为：考虑简单的单位阶跃输入情况下设计最小拍控制有：,系统输出：系统误差：控制量：由于控制量在稳态不为恒定值，在非采样点，系统的输出产生纹波。,误差(黑)与控制器(蓝)输出,给定(蓝)与系统响应(黑),系统输出在采样点之间的波纹，是由控制量序列的波动引起的，其根源在于控制量的Z变换中含有非零极点。最少拍无波纹系统的设计，对期望
17、闭环响应(z)进行修正，使控制量在稳态不发生波动，即控制输出u(k)为常数或是零，以达到消除采样点之间波纹的目的。控制输出u(k)的Z变换为：如果系统经过个m采样周期到达稳态，无纹波控制设计的要求u(m)=u(m+1)=u(m+2)=常数或零。,要使控制信号u(k)在稳态过程中为常数或零，那么只能是关于z-1的有限多项式。因此，(z)必须包含G(z)的分子多项式B(z)，即(z)必须包含G(z)的所有零点。这样，原来最少拍控制器设计时确定(z)的公式应修改为：其中，L为G(z)的所有零点数；b1、b2、bL为G(z)的所有零点。,例3、对例1进行最小拍无纹波控制设计。假定输入为单位阶跃输入。解
18、：广义对象的脉冲传递函数为：G(z)中包含z-1和零点-0.718。根据无波纹控制的要求有：为了实现最小拍控制，进一步有：,可以得到：,无纹波系统的调整时间比有纹波系统长，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数目,误差(黑)与控制器(蓝)输出,给定(蓝)与系统响应(黑),最小拍无波纹控制器设计小结：（1）为了实现无静差，必须针对不同的输入选择不同的误差脉冲传递函数e(z)。通常e(z)=(1-z-1)q F(z)。（2）为了保证闭环系统的稳定性，e(z)的零点应包含广义对象脉冲传递函数G(z)中所有不稳定的极点。（3）为了保证无波纹控制，闭环脉冲传递函数(z)应包含G(z)所有零点和滞后因子
19、（4）为了实现最小拍控制，F(z)应尽可能简单。同时 F(z)的选择必须满足：(z)=1-e(z),最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差。惯性因子法就是针对最少拍系统对输入适应性差而进行的一种改进方法，它以损失控制的有限拍无差性质为代价，而使系统对多种类型的输入有较满意的响应。基本思想：使误差的脉冲传递函数 通过一惯性因子项 将其修改为 即：采用惯性因子后，系统已不可能在有限个采样周期内准确到达稳态，而只能渐近地趋于稳态，但系统对输入类型的敏感程度却降低，通过选择参数 c，可对不同类型的输入均作出较好的响应,最少拍控制器存在的
20、另一个问题是对参数变化过于敏感。按最少拍控制设计的闭环系统只有多重极点z=0。多重极点对系统参数变化非常灵敏，如果系统参数发生变化，将使实际系统控制严重偏离期望状态。一般可以采用非最少拍控制来改进。非最少有限拍控制在最少拍设计的基础上，把闭环脉冲传递函数(z)中z-1的幂次适当增加1阶到2阶，闭环系统的脉冲响应将比最少拍时多持续1到2拍才归于零，这时显然已不是最少拍系统，但仍为一有限拍系统。由于维数的增高，在设置控制初值u(0)或选择(z)及 1-(z)中的待定系数时会增加一定的自由度。从而降低系统对参数变化的敏感性，并减小控制作用。,5.2.5 数字控制器的程序实现方法,在计算机控制系统中，
21、所设计的数字控制器是通过计算机程序来实现的。编程过程中，必须把用Z传递函数D(z)表示的控制算法转换为计算机中的数据传送、加减、相乘等运算操作。对同一个D(z)可有几种不同的程序实现方法,他们虽然在数学上是完全等效的,但在编程难易计算效率误差传递以及参数误差的敏感性等方面不一样。常用的方法包括：直接法、串行法和并行法。,1.直接程序设计法对于物理可实现的数字控制器(m+r n)上面计算u(k)的方法即为直接法，在这个方法中，每算一次u(k)，要进行(m+n)次加减法，(m+n+1)次乘法。由于纯滞后的存在，在一次计算中，除常数外，虽然只涉及(m+n+2)个数据，但考虑到以后计算中要用，需保留并
22、传送的数据有m+n+r 2n个，包括,2.串行程序设计法一个物理可实现的数字控制器脉冲传递函数还可以写成(式中mn)令则有：即D(z)是由各部分串联而成。,为了计算u(k)，可以先计算出u1(k)，再算出u2(k)，u3(k)，直到最后算出u(k)。从上式可以得到：用类似得方法，可以得到u2(k)，u3(k)，u(k)的计算公式。串行程序设计法每算一次u(k)，要进行(m+n)次加减法，(m+n+1)次乘法。一次计算中涉及的数据，除常数外，有（2n+2）个，为以后计算用需要保留与传送的共有(n+1)个，包括u1(k)u2(k)，u3(k)，un(k)和e(k)。,3.并行程序设计法数字控制器的脉冲传递函数还可以写成部分分式的形式令：则有：即D(z)是由各部分并联而成。,按照上面编制程序计算u(k)的方法，称为并行程序设计法。并行程序设计法每算一次u(k)要进行(2n-1)次加减法，2n次乘法。一次计算中涉及的数据除常数外有(2n+1)个，为以后计算用需要保留与传送的数据共有(n+1)个，包括u1(k)u2(k)，u3(k)，un(k)和e(k)。,上述三种程序实现方法的计算效率可以通过下列表格进行比较。对比每计算一次u(k)所需要进行的加减法、乘法及数据传送次数。从表中数据可见，串行程序设计法计算效率最高，特别当nm，且n较大时差距格外明显。,
