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1、多元函数习题课,一 学习要求,(1)理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义;,(2)理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质;,多元函数的概念 极限及连续,(3)理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;,(4)掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求法;,(5)会求隐函数的偏导数;,(6)掌握高阶偏导数与高阶微分的概念,掌握二阶偏导数的计算,多元函数的偏导数及全微分,偏导数的应用,(7)正确理解多元函数极值的概念,极值存在的必要条件和判断极值的充分条件;会求一般函数的极值,会利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值.,(8)
2、理解二重积分的概念,了解二重积分的性质;,(9)掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计算方法;,(10)了解广义二重积分的概念和计算方法.,多元函数积分学,二、主要内容,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,偏导数在经济上的应用,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,1.区域,（1）邻域,（3）n维空间,（2）区域,连通的开集称为区域或开区域,2.多元函数概念,3.多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限
3、,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4.极限的运算,5.多元函数的连续性,6.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,（2）最大值和最小值定理,（1）有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（3）介值定理,7.偏导数概念,.高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,.偏导数在经济上的应用:交叉弹性,即,10.全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,11.全微分的应用,主要方面
4、:近似计算与误差估计.,12.复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,13.全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数的求导公式,14.隐函数的求导法则,15.多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,三、典型例题,1 多元函数极限,计算多元函数极限的常用方法：,（1）利用不等式，使用夹挤定理；,（2）利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的极限；,（3）利用各种可利用的一元函数求极限的方法；,（4）利用函数的连续性；,（5
5、）若事先能看出极限，可利用极限定义证明。,解,解,例2,注意：在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化.,解（1）,例3,解,解：,解:,解题提示:在解多元函数问题时,经过换元或其它方法将问题转化成一个一元问题加以解决,这种多元问题一元化”的思想,在解多元问题时非常重要.,思考与练习,解法1,分析:,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此时极限为 1.,第二步,未考虑分母变化的所有情况,解法2 令,此法忽略了 的任意性,极限有可能不存在!,分析:,解法3 令,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,分析:,由此知，该极限不存在。,讲教材P212例题,2 函数的连续性、可导、可微等,解：,矛盾,或按定义证明,由此可知，一阶偏导数不连续.,练习：教材P221 T13,多元函数连续、可导、可微的关系,练习：教材P247 T1,解:,解:,解:,解题关键:按定义求偏导数,例9,解:,按定义知：,强调:,解,例10,3 复合函数求导,例11,解,方程两边求微分,得,解：,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,例13,解,4 极值问题,解题提示：,5 二重积分对称问题,测 验 题,测验题答案,
