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1、,第 章,7,多元函数微分法及其应用,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,一、平面点集的有关概念,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,Ch7-1 多元函数的基本概念,1.邻域,一、平面点集的有关概念,2.区域,例如，,即为开集,开区域,闭区域,(a),(b),(c),(d),(6)区域 连通的开集称为区域或开区域,开区域连同它的边界一起称为闭区域,(a),(b),(c),(d),有界闭区域；,无界开区域,例如，,3.有界集,4.聚点,(1)内点一定是聚点；,(2)边界点一定是聚点；,例如，,(0,0)既是边界点也是聚点,说 明,(3)点集E
2、的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,5.n维空间,(1)n维空间的记号为,注：,(2)n维空间中两点间距离公式,注：n维空间中邻域、区域等概念,特殊地,当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,1.引例,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦(秦九韶)公式,二、多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,定义 1 设D是平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，,2.二元函数的定义,点函数符号 f(P),例1,解,所求
3、定义域为,二元函数的图形通常是一张曲面.,3.二元函数z=f(x,y)的图形,例如,二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,三、多元函数的极限,1.定义,（1）定义中 PP0 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二元以上的函数的极限可类似地定义。,说 明,例2 用定义证明,证明:,原结论成立,2二元函数极限问题举例,例3 求极限,解,其中,例4 证明,分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限不存在。,证明：令P沿
4、直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有,显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限,确定极限不存在的方法：,定义3,(1)间断点的判别与一元函数类似。,(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。,1.多元函数连续性的定义,四、多元函数的连续性,说 明,例如,函数,在点(0,0)极限不存在(例4),又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,多元初等函数：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,2.多元初等函数的连续性,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,例5,解,3.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,小结,本节主要讨论了多元函数的概念、多元函数极限及连续的概念,本节要求了解多元函数极限及连续的概念，知道多元初等函数的连续性及有界闭区域上连续函数的性质，会求一些二元函数的极限,思考：,解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时，,当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,它是与k的取值有关的，所以二重极限,
